P3205 [HNOI2010]合唱队[区间dp]

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

-第一个人直接插入空的当前队形中。

-对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。

当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,

那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：

1850

• 1850 , 1900 因为 1900 > 1850
• 1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
• 1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
• 1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
• 1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800

因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800

小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形

说明/提示

30%的数据：n<=100

100%的数据：n<=1000

解析

其实这道题是递推/记搜。

观察题目，容易归纳出每次取一个人加入队形时，他只可能加在队列的最左边或者最右边，满足区间dp的性质。

设\(dp[0/1][i][j]\)表示在区间\(i\sim j\)中最后放的人在最左/右时的方案数。

根据加法原理，容易写出状态转移方程：

\[dp[i][j][0] = dp[i + 1][j][0] · [h_i < h_{i+1}] + dp[i + 1][j][1] · [h_i < h_j
]\\
dp[i][j][1] = dp[i][j − 1][0] · [h_j > h_i
] + dp[i][j - 1][1] · [h_j > h_{j−1}]
\]

自认为这题比较神奇的一点（我WA了好几次），是初始化，鬼知道为什么只用初始化一维（\(0/1\)那一维），而且无论你初始化哪一维答案都是一样的。

参考代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define mod 19650827
#define N 1010
using namespace std;
int dp[2][N][N],n,a[N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),dp[0][i][i]=1;
	for(int len=2;len<=n;++len)
	 for(int l=1;l<=n-len+1;++l){
	 	int r=l+len-1;
	 	// 0 left 1 right
	 	int t1=0,t2=0,t3=0,t4=0;
	 	if(a[l]<a[l+1]) t1=1;
	 	if(a[l]<a[r]) t2=1;
	 	if(a[r]>a[r-1]) t3=1;
	 	if(a[r]>a[l]) t4=1;
	 	dp[0][l][r]=(dp[0][l+1][r]*t1%mod+dp[1][l+1][r]*t2%mod)%mod;
	 	dp[1][l][r]=(dp[1][l][r-1]*t3%mod+dp[0][l][r-1]*t4%mod)%mod;
	 }
	printf("%d\n",((dp[0][1][n]%mod+dp[1][1][n])%mod)%mod);
	return 0;
}