学习BM算法

BM算法：

希望大家别见怪，当前博客只用于个人记录所用。

【例题】Poor God Water

题意：

有肉，鱼，巧克力三种食物，有几种禁忌，对于连续的三个食物，

1.这三个食物不能都相同；

2.若三种食物都有的情况，巧克力不能在中间；

3.如果两边是巧克力，中间不能是肉或鱼。

求方案数

要求任意连续三个小时不能出现aaa，bbb，ccc，abc，cba，bab，bcb (假设b为巧克力）

然后进行推导，其实可以用矩阵快速幂 或者 BM算法。

复制粘贴一下CJY学长的代码：

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const int N=;
 struct Matrix{
     ll matrix[N][N];
 };

 const int mod = 1e9 + ;

 void init(Matrix &res)
 {
     memset(res.matrix,,sizeof(res.matrix));
     for(int i=;i<N;i++)
         res.matrix[i][i]=;
 }
 Matrix multiplicative(Matrix a,Matrix b)
 {
     Matrix res;
     memset(res.matrix,,sizeof(res.matrix));
     for(int i =  ; i < N ; i++){
         for(int j =  ; j < N ; j++){
             for(int k =  ; k < N ; k++){
                 res.matrix[i][j] += a.matrix[i][k]*b.matrix[k][j];
                 res.matrix[i][j] %= mod;
             }
         }
     }
     return res;
 }
 Matrix pow(Matrix mx,ll m)
 {
     Matrix res,base=mx;
     init(res);
     while(m)
     {
         if(m&)
             res=multiplicative(res,base);
         base=multiplicative(base,base);
         m>>=;
     }
     return res;
 }
 int main()
 {
     int t;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         ll n,ant = ;
         scanf("%lld",&n);
         if(n == )  printf("3\n");
         else if(n == ) printf("9\n");
         else
         {
             Matrix res,ans = {
                 ,,, ,,, ,,,
                 ,,, ,,, ,,,
                 ,,, ,,, ,,,

                 ,,, ,,, ,,,
                 ,,, ,,, ,,,
                 ,,, ,,, ,,,

                 ,,, ,,, ,,,
                 ,,, ,,, ,,,
                 ,,, ,,, ,,
             };
             res=pow(ans,n-);

             for(int i = ;i < N;i++)
                 for(int j = ;j < N;j++)
                     ant = (ant + res.matrix[i][j]) % mod;
             printf("%lld\n",ant);
         }
     }
     return ;
 }

矩阵快速幂

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
 #define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define all(x) (x).begin(),(x).end()
 #define fi first
 #define se second
 #define SZ(x) ((int)(x).size())
 using namespace std;
 typedef vector<int> VI;
 typedef long long ll;
 typedef pair<int,int> PII;
 const ll mod = 1e9+;
 const int N = ;
 ll powmod(ll a,ll b) {
     ll res=;a%=mod; assert(b>=);
     for(;b;b>>=){
         if(b&)res=res*a%mod;
         a=a*a%mod;
     }
     return res;
 }

 /*
     BM模板
     begin
 */

 // head

 int _,n;
 namespace linear_seq {
     const int N=;
     ll res[N],base[N],_c[N],_md[N];

     vector<int> Md;
     void mul(ll *a,ll *b,int k) {
         rep(i,,k+k) _c[i]=;
         rep(i,,k) if (a[i]) rep(j,,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
         for (int i=k+k-;i>=k;i--) if (_c[i])
             rep(j,,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod;
         rep(i,,k) a[i]=_c[i];
     }
     int solve(ll n,VI a,VI b) { // a 系数 b 初值 b[n+1]=a[0]*b[n]+...
 //        printf("%d\n",SZ(b));
         ll ans=,pnt=;
         int k=SZ(a);
         assert(SZ(a)==SZ(b));
         rep(i,,k) _md[k--i]=-a[i];_md[k]=;
         Md.clear();
         rep(i,,k) if (_md[i]!=) Md.push_back(i);
         rep(i,,k) res[i]=base[i]=;
         res[]=;
         while ((1ll<<pnt)<=n) pnt++;
         for (int p=pnt;p>=;p--) {
             mul(res,res,k);
             if ((n>>p)&) {
                 for (int i=k-;i>=;i--) res[i+]=res[i];res[]=;
                 rep(j,,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod;
             }
         }
         rep(i,,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod;
         if (ans<) ans+=mod;
         return ans;
     }
     VI BM(VI s) {
         VI C(,),B(,);
         int L=,m=,b=;
         rep(n,,SZ(s)) {
             ll d=;
             rep(i,,L+) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod;
             if (d==) ++m;
             else if (*L<=n) {
                 VI T=C;
                 ll c=mod-d*powmod(b,mod-)%mod;
                 while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb();
                 rep(i,,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                 L=n+-L; B=T; b=d; m=;
             } else {
                 ll c=mod-d*powmod(b,mod-)%mod;
                 while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb();
                 rep(i,,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                 ++m;
             }
         }
         return C;
     }
     int gao(VI a,ll n) {
         VI c=BM(a);
         c.erase(c.begin());
         rep(i,,SZ(c)) c[i]=(mod-c[i])%mod;
         return solve(n,c,VI(a.begin(),a.begin()+SZ(c)));
     }
 };

 /*
     end
 */

 ll a[][],ans[];

 void Init(){

     int op =  ;
     for(int i=;i<=;i++){
         a[i][op] =  ;
     }
     for(int i=;i<=;i++){
         op ^=  ;
         for(int j=;j<=;j++)   a[j][op] = ;

         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^] + a[][op^]) % mod ;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod ;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod ;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod ;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^] + a[][op^]) % mod ;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod ;
         a[][op] = (a[][op^] + a[][op^]) % mod ;

         for(int j=;j<=;j++){
             ans[i] = (ans[i] + a[j][op]) % mod  ;
         }
         //printf("%lld\n",ans[i]);
     }
 }

 vector <int> Vec = { ,,,,,,,
                      ,,,,,
                      ,, };

 int main()
 {
     int T;

     Init();
     for( scanf("%d",&T) ; T ; T-- ){
         ll n;
         scanf("%lld",&n);
         printf("%lld\n",linear_seq::gao(Vec,n-)%mod);
     }
     return ;
 }

BM算法

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牛客多校训练2 B.Eddy Walker 2

2019牛客暑期多校训练营（第二场） - B - Eddy Walker 2 - BM算法

P4723 【模板】线性递推 题解

【学习笔记】Berlekamp-Massey算法

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 typedef long long ll ;
 using namespace std;

 #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
 #define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define all(x) (x).begin(),(x).end()
 #define fi first
 #define se second
 #define SZ(x) ((int)(x).size())
 using namespace std;
 typedef vector<ll> VI;
 typedef pair<ll,ll> PII;
 const ll mod = 1e9+;
 const int N = 5e4+;
 ll powmod(ll a,ll b) {
     ll res=;a%=mod;
     for(;b;b>>=){
         if(b&)res=res*a%mod;
         a=a*a%mod;
     }
     return res;
 }

 /*
     BM模板
     begin
 */

 // head

 int _,n;
 namespace linear_seq {
     const int N=;
     ll res[N],base[N],_c[N],_md[N];

     vector<int> Md;
     void mul(ll *a,ll *b,int k) {
         rep(i,,k+k) _c[i]=;
         rep(i,,k) if (a[i]) rep(j,,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
         for (int i=k+k-;i>=k;i--) if (_c[i])
                 rep(j,,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod;
         rep(i,,k) a[i]=_c[i];
     }
     int solve(ll n,VI a,VI b) { // a 系数 b 初值 b[n+1]=a[0]*b[n]+...
 //        printf("%d\n",SZ(b));
         ll ans=,pnt=;
         int k=SZ(a);
         rep(i,,k) _md[k--i]=-a[i];_md[k]=;
         Md.clear();
         rep(i,,k) if (_md[i]!=) Md.push_back(i);
         rep(i,,k) res[i]=base[i]=;
         res[]=;
         while ((1ll<<pnt)<=n) pnt++;
         for (int p=pnt;p>=;p--) {
             mul(res,res,k);
             if ((n>>p)&) {
                 for (int i=k-;i>=;i--) res[i+]=res[i];res[]=;
                 rep(j,,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod;
             }
         }
         rep(i,,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod;
         if (ans<) ans+=mod;
         return ans;
     }
     VI BM(VI s) {
         VI C(,),B(,);
         int L=,m=,b=;
         rep(n,,SZ(s)) {
             ll d=;
             rep(i,,L+) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod;
             if (d==) ++m;
             else if (*L<=n) {
                 VI T=C;
                 ll c=mod-d*powmod(b,mod-)%mod;
                 while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb();
                 rep(i,,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                 L=n+-L; B=T; b=d; m=;
             } else {
                 ll c=mod-d*powmod(b,mod-)%mod;
                 while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb();
                 rep(i,,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                 ++m;
             }
         }
         return C;
     }
     int gao(VI a,ll n) {
         VI c=BM(a);
         c.erase(c.begin());
         rep(i,,SZ(c)) c[i]=(mod-c[i])%mod;
         return solve(n,c,VI(a.begin(),a.begin()+SZ(c)));
     }
 };

 /*
     end
 */
 ll dp[N] ;
 int main()
 {
     int T;
     for( scanf("%d",&T) ; T ; T-- ){
         memset(dp,,sizeof(dp));
         ll n,k ;
         VI v;
         scanf("%lld%lld",&k,&n);
         if( n== ){
             printf("1\n");
         }else if( n==- ){
             printf("%lld\n",(2ll) * powmod(k+,mod-) % mod );
         }else{
             ll Inv_k = powmod( k ,mod-) ;
             dp[] =  ;
             v.push_back();
             for(int i=;i<=k;i++){
                 for(int j=;j<i;j++){
                     dp[i] = (dp[i] + dp[j]) % mod;
                 }
                 dp[i] = dp[i] * Inv_k % mod ;
                 v.push_back(dp[i]);
             }
             for(int i=k+;i<=*k;i++){
                 for(int j=;j<=k;j++){
                     dp[i] = (dp[i] + dp[i-j]) % mod ;
                 }
                 dp[i] = dp[i] * Inv_k % mod ;
                 v.push_back(dp[i]);
             }
             printf("%lld\n",linear_seq::gao(v,n));
         }
     }
     return ;
 }

BM