2023NOIP A层联测16 T3 货物运输

2023NOIP A层联测16 T3 货物运输

题目描述说这是一个仙人掌图，通常将问题转换为环和树的问题在使用圆方树来解决。

树解法

令 \(a_i=s_i-\frac{\sum s_i}{n}\) ，最终令 \(a_i=0\)。

通过树形 dp，从叶子节点向上转移，叶子节点要么向父亲拿资源，要么向父亲传资源，所以转移为：

\[a_{fa}+=a_i\\
ans+=w_i\times|a_i|
\]

环解法

令 \(a_i=s_i-\frac{\sum s_i}{n}\) ，最终令 \(a_i=0\)。

不妨设编号顺序为：\(1,2,3,\cdots,n\)。

\(x_i\) 表示点 \(i\) 向 \(i-1\) 运输了\(x_i\) 个单位的资源，若 \(x_i<0\) 那么是 \(i-1\) 向 \(i\) 运输，若 \(i=1\) 那么 \(1\) 向 \(n\) 运输。

有方程组：

\[\begin{cases}
a_1-x_1+x_2=0\\
a_2-x_2+x_3=0\\
a_3-x_3+x_4=0\\
\cdots\\
a_{n-1}-x_{n-1}+x_n\\
a_n-x_n+x_1=0
\end{cases}
\]

移项化简后，我们发现有 \(x_i=x_1-X_i\)，若 \(i=1\)，则 \(X_1=0\)（化简到这里实际上只需要前 \(n-1\) 条方程），其中 \(X_i\) 为常数。

那么答案为 \(\sum w_i|x_i|=\sum w_i|x_1-X_i|\)。

现在将问题转化为求出 \(x_1\) 的值，使得 \(\sum w_i |x_1 - X_i|\) 最小。对于 \(w_i = 1\) 的情况，\(x_1\) 直接取 \(X_i\) 的中位数。类似的，对于 \(w_i\) 没有限制的情况，可以看作有 \(w_i\) 个 \(X_i\)，取 \(\sum w_i\) 个数的中位数。复杂度为排序的 \(O(n \log n)\)。

仙人掌

将一个环看成树上的一个点，环与环之间相邻的点看成边，依旧从叶子节点开始做。节点是环，使用环的解决方法，如果环缺少或多出值，先赊账在与父亲相连的点上（因为自己的儿子已经转移完了，多出或者少于都只可以传递或来自父亲），对于非环的边采用类似于树形 \(dp\) 的解决方法。

实现

可以先建出圆方树，一个方点对应一个环或者一条边，使用方点转移即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int maxn=1e6+5,maxm=1e6+5;

struct node
{
    int to,nxt;
}edge[maxn*4],tred[maxm];

int n,m,trtot,tot,tp,cok,tx,pj,ans;
int head[maxn],trhead[maxm],s[maxn],dfn[maxn],low[maxn],stk[maxn],sz[maxn],f[maxn];

vector<int>vec[maxm];

map<pair<int,int>,int>mp;

void add(int &tot,int head[],node edge[],int x,int y)
{
    tot++;
    edge[tot].to=y;
    edge[tot].nxt=head[x];
    head[x]=tot;
}

void tarjin(int u)//建圆方树
{
    dfn[u]=low[u]=++cok;
    stk[++tp]=u;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjin(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u])
            {
                add(trtot,trhead,tred,++tx,u);
                add(trtot,trhead,tred,u,tx);
                vec[tx].push_back(u);
                int x=0;
                do
                {
                    x=stk[tp--];
                    add(trtot,trhead,tred,tx,x);
                    add(trtot,trhead,tred,x,tx);
                    vec[tx].push_back(x);
                }while(x!=v);
            }
        }
        else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}

void dfs2(int u)//遍历圆方树求答案
{
    int sum=0;
    for(int i=trhead[u];i;i=tred[i].nxt)
    {
        int v=tred[i].to;
        if(v==f[u]) continue;
        dfs2(v);
        if(u>n) sum+=s[v];
    }
    if(u<=n) return ;

    if(vec[u].size()==2)//非环边直接转移
    {
        int son;
        if(vec[u][0]==f[u]) son=vec[u][1];
        else son=vec[u][0];
        s[f[u]]+=s[son];
        ans+=abs(s[son])*mp[make_pair(f[u],son)];
        return ;
    }

    priority_queue< pair<int,int>,vector< pair<int,int> >, greater< pair<int,int> > >que;//环边
    while(!que.empty()) que.pop();
    int cnt=vec[u].size();
    sum+=s[f[u]];
    int tmp=s[f[u]];
    s[f[u]]=s[f[u]]-sum;
    que.push(make_pair(0,mp[ make_pair(vec[u][0],vec[u][cnt-1]) ]));
    int ct=0,sg=mp[ make_pair(vec[u][0],vec[u][cnt-1]) ];
    for(int i=1;i<cnt;i++)
    {
        int w=mp[ make_pair(vec[u][i],vec[u][i-1]) ];
        ct+=s[ vec[u][i-1] ];
        que.push(make_pair(ct,w)),sg+=w;
    }
    ct=0;
    int x=0;
    while(!que.empty())//中位数
    {
        ct+=que.top().second;
        if(ct>sg/2) {x=que.top().first;break;}
        que.pop();
    }
    ct=0;
    ans+=abs(ct-x)*mp[make_pair(vec[u][0],vec[u][cnt-1])];
    for(int i=1;i<cnt;i++)
    {
        int w=mp[ make_pair(vec[u][i],vec[u][i-1]) ];
        ct+=s[ vec[u][i-1] ];
        ans+=w*abs(x-ct);
    }
    s[f[u]]=sum;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    f[u]=fa;
    for(int i=trhead[u];i;i=tred[i].nxt)
    {
        int v=tred[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs1(v,u);
    }
}

signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&s[i]),pj+=s[i];
    pj/=n;
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i]-pj;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        add(tot,head,edge,x,y);
        add(tot,head,edge,y,x);
        mp[make_pair(x,y)]=z;
        mp[make_pair(y,x)]=z;
    }
    tx=n;

    tarjin(1);
    dfs1(n,0);//答案是在计算过程中统计的，所以出发点设为圆点更方便统计
    dfs2(n);

    printf("%lld",ans);
}