SAM 学习笔记

发现自己根本没有 SAM 基础，所以想补一篇学习笔记。

SAM

SAM 是一个可以接受字符串 \(s\) 的所有后缀的最小 \(DFA\)（确定性有限状态自动机）。不过他最大的用处和后缀数组一样，都是用来处理子串信息的。既然他是 \(DFA\)，那他就是 \(DAG\)，下文的 \(DAG\) 都代指这张图。同时这个 \(DAG\) 有且只有一个出发点 \(P\)，满足没有点可以到它但是所有点都可以从它抵达。

endpos 等价类

对于一个字符串 \(S\) 的一个子串 \(s\)，定义 \(endpos(s)\) 表示 \(s\) 在 \(S\) 中每个出现位置的右端点所形成的集合。

例如，\(S=ababbabaab,s=ab\) 时，\(endpos(s)=\{2,4,7,10\}\)。

我们容易发现在上面的字符串中，\(aa\) 和 \(baa\) 的 \(endpos\) 相等。同样的情况还有很多组。我们将所有 \(endpos\) 相等的子串归为一个等价类。我们定义 \(endpos(E)\) 代表等价类 \(E\)（是一个字符串集合）对应的 \(endpos\) 集合。

\(DAG\) 的每个点都会代表一个 \(endpos\) 等价类，且两两不同。

各种引理

下文中，\(|s_1|\ge|s_2|\)。

1. “\(endpos(s_1)=endpos(s_2)\)” 是 “\(s_2\) 是 \(s_1\) 的后缀，且在 \(S\) 中每次都会以后缀形态出现。”的充要条件。
2. 若 \(s_2\) 为 \(s_1\) 后缀，则 \(endpos(s_1)\subseteq endpos(s_2)\)，否则 \(endpos(s_1)\cap endpos(s_2)=\emptyset\)。
3. 一个 \(endpos\) 等价类中不会包含两个长度相同但本质不同的字符串。
4. 一个 \(endpos\) 等价类中的字符串长度一定是连续出现的。

link 和后缀树

对于某个不是 \(P\) 的节点 \(v\)，定义 \(s\) 为节点 \(v\) 代表的的字符串中最长的一个。记字符串 \(t\) 表示最长的不和 \(s\) 在同一等价类的 \(s\) 的后缀，我们认为 \(t\) 所在的等价类为 \(E'\)，\(s\) 所在等价类为 \(E\)。我们定义 \(link(E)=E'\)。若我们从 \(E\) 向 \(E'\) 连一条边，可以证明我们将会得到一棵内向树，称之为后缀树。显然，若我们从 \(E\) 开始一直跳到 \(P\)，我们就可以遍历 \(s\) 的所有后缀。

各种引理

1. \(link(E)\) 中最长的字符串 \(s\) 是 \(E\) 中最短的字符串 \(t\) 长度为 \(|t|-1\) 的后缀。
2. \(endpos(E)\subsetneq endpos(link(E))\)。
3. 后缀树的形态是一棵树（我们刚才并没有证明他的形态）。

实现

现在我们大概能想到，SAM 是由 DAG 和后缀树组成的。两部分相互关联而又独立，造就了 \(SAM\) 的毒瘤。

现在，我们定义 DAG 中节点 \(v\) 所对应的等价类为 \(E_v\)，\(E_v\) 中最长的字符串为 \(r(v)\)，最短的为 \(l(v)\)。

那么我们就可以开始讲解流程了。

算法流程

最开始时，整个 SAM 只有一个点 \(P\)。我们规定 \(|r(P)|=0,link(P)=-1\)。现在我们添加一个字符 \(c\)，流程如下：

1. 令 \(last\) 为添加之前整个字符串所对应的节点。初始时 \(last=0\)。
2. 创建一个新节点 \(cur\)，显然 \(|r(cur)|=|r(last)|+1\)。
3. 在后缀树上，从 \(last\) 开始遍历，如果当前节点 \(p\) 在 DAG 上没有标记为 \(c\) 的出边，我们就在 DAG 上创建一条有向边 \(p\to cur\)，标记为 \(c\)。
4. 如果当前节点 \(p\) 在 DAG 上有标记为 \(c\) 的出边，我们就停止遍历，并记通过 DAG 上标记为 \(c\) 的边到达的节点为 \(q\)：
   1. 若 \(|r(p)|+1=|r(q)|\)，令 \(link(cur)=q\)（显然 \(r(p)\) 是 \(r(last)\) 的后缀，\(|r(p)|+1=|r(q)|\) 根据引理3，相当于 \(r(q)\) 也是 \(r(cur)\) 的后缀，那么 \(q\) 中的所有字符串 \(endpos\) 仍然相等）。
   2. 否则再建立一个点 \(cpy\)，继承 \(q\) 除了名字以外的所有信息（包括 \(link\) 和 DAG 上的所有出边），同时令 \(|r(cpy)|=|r(p)|+1,link(q)=link(cur)=cpy\)，再从 \(p\) 开始遍历（实际上此时 \(q\) 中的所有字符串的 \(endpos\) 已经不等了，而且显然分为了两个部分。这一步相当于将 \(q\) 拆成 \(r(p)+c\) 的后缀 \(cpy\) 和其他字符串 \(q\) 两个部分）：
      1. 如果当前节点 \(v\) 在 DAG 上有标记为 \(c\) 的出边 \(v\to q\)，则将之删除，并改为 \(v\to cpy\)。
      2. 否则停止遍历。
5. 如果遍历到 \(P\) 了，\(link(cur)=0\)（相当于之前不存在字符 \(c\)）。
6. 令 \(last=cur\)，并且结束这次插入。

时空复杂度

首先需要声明，一般来说，DAG 的连边方式和 \(Trie\) 类似，所以假如我们设字符串中字符数量为 \(m\)，则 SAM 空间复杂度为 \(O(nm)\)。若使用映射可以将空间复杂度降至 \(O(n)\)，但时间复杂度也会相应上升，这要看你使用的是平衡树还是哈希表。

节点数

显然不超过 \(2n-1\)。能达到上限的字符串有 \(S=abb\cdots bb\)。

边数

整个 SAM 的边数可以证明不超过 \(3n-4\)。能达到上限的字符串有 \(S=abb\cdots bbc\)。

代码

//Luogu P3804
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+5;
string s;long long ans;
namespace SAM{
    int tot,link[N],len[N];
    int lst,sz[N],tr[N][26];
    vector<int>g[N];
    void insert(int c){
        int cur=++tot,p=lst;
        len[cur]=len[lst]+1,sz[lst=cur]++;
        while(!tr[p][c]&&~p)
            tr[p][c]=cur,p=link[p];
        if(p<0) return;
        int q=tr[p][c];
        if(len[q]==len[p]+1)
            return link[cur]=q,void();
        int cpy=++tot;link[cpy]=link[q];
        for(int i=0;i<26;i++)
            tr[cpy][i]=tr[q][i];
        len[cpy]=len[p]+1;
        link[q]=link[cur]=cpy;
        while(tr[p][c]==q)
            tr[p][c]=cpy,p=link[p];
    }void build(){
        for(int i=1;i<=tot;i++)
            g[link[i]].push_back(i);
    }void dfs(int x){
        for(auto y:g[x]) dfs(y),sz[x]+=sz[y];
        if(sz[x]>1) ans=max(ans,1ll*sz[x]*len[x]);
    }
}int zh(char c){return c-'a';}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>s,SAM::link[0]=-1;
    for(int i=0;s[i];i++)
        SAM::insert(zh(s[i]));
    SAM::build(),SAM::dfs(0);
    cout<<ans;
    return 0;
}

exSAM

SAM 虽好，但仍有局限性：只能针对一个字符串建立。假如有多个字符串，固然可以在字符串间加入特殊字符的方式解决，但每个特殊字符也必须不同。这样就犯了字符数量过大的忌讳，导致时空复杂度增大。

我们能否像 ACAM 一样，通过 \(Trie\) 树建立 exSAM 呢？

修改定义

在 SAM 中，我们有三大定义：后缀、\(endpos\)、\(link\)。

对于后缀，设 \(Trie\) 树 \(T\) 上从 \(x\) 到 \(y\) 的路径为 \(T_{x\to y}\)，当然，\(x\) 必须为 \(y\) 的祖先。那么 \(T\) 的后缀集合就可以表示为 \(\{T_{x\to y}|r_y=1\}\)。其中 \(r_x\) 表示 \(x\) 的度数。

对于 \(endpos\) 的新定义也顺水推舟，即 \(endpos(s)=\{y|T_{x\to y}=s\}\)。那 \(link\) 就可以不变了。

离线方法

由于 \(dfs\) 死法多多，所以我只说 \(bfs\)。

考虑在 \(Trie\) 上 \(bfs\)。对于非根节点 \(x\)，若要将其插入，\(last\) 应该是其父亲在 exSAM 上的编号，所以要对于每一个 \(Trie\) 树上的节点记录其在 exSAM 中对应的编号，其他操作和普通 SAM 相同。可以证明是有正确性的（dfs 就没这么好了）。

设 \(Trie\) 树点数为 \(n\)，\(Trie\) 树所代表的所有字符串长度总和为 \(k\)，那么 \(bfs\) 的时间复杂度是 \(O(nm)\) 的，远优于 dfs 和在线的 \(O(km)\)。

在线方法

考虑每新加入一个字符串，就把 \(last\) 归一次 \(0\)，再加入少许特判，就可以避免空节点问题。实际上，\(dfs\) 和在线的 \(insert\) 相同的。