【剑指Offer】变态跳台阶 解题报告(Python)
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题目描述:
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解题方法
数学归纳法可以得出这个题的结果是2的n-1次方。
来自牛客网的回答:
链接:https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387
来源:牛客网
关于本题,前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)
说明:
1)这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。
2)n = 1时,只有1种跳法,f(1) = 1
n = 2时,会有两个跳得方式,一次1阶或者2阶,这回归到了问题(1) ,
f(2) = f(2-1) + f(2-2)
n = 3时,会有三种跳得方式,1阶、2阶、3阶,
那么就是第一次跳出1阶后面剩下:f(3-1);第一次跳出2阶,剩下f(3-2);第一次3阶,那么剩下f(3-3)
因此结论是
f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
n = n时,会有n中跳的方式,1阶、2阶…n阶,得出结论:
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)
由以上已经是一种结论,但是为了简单,我们可以继续简化:
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
可以得出:
f(n) = 2*f(n-1)
得出最终结论,在n阶台阶,一次有1、2、…n阶的跳的方式时,总得跳法为:
| 1 ,(n=0 ) f(n) = | 1 ,(n=1 ) | 2*f(n-1),(n>=2)
# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def jumpFloorII(self, number):
return 1 << (number - 1)
日期
2018 年 3 月 9 日
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