P6845 [CEOI2019] Dynamic Diameter

P6845 [CEOI2019] Dynamic Diameter

题意

一颗带权树，每次更改一条边的权，每次修改后求出最大直径。强制在线。

思路

\(O(n\log^2n)\) 的暴力做法。

根据经典结论，对于两个点集的树上最大直径（权值非负），并集点集的树上最大直径的端点一定是原四个端点中的两个。

那么我们就可以用线段树维护点集，合并时 \(O(\log n)\) 查询两点间距离合并就可以做到 \(O(n\log^2n)\) 的复杂度了。

思考如何支持在线修改边权。两点间距离为 \(dis(x)+dis(y)-2*dis(lca(x,y))\) 那么先树剖发现修改一条边的权实际上是将子树内 \(dis\) 增加，那么子树就是区间加。我们可以用树状数组维护修改。

考虑哪些部分的线段树上的点集最大直径被改了。发现子树内和子树外的最大直径不会变化，那么我们只需要更改子树内与外之间合并的最大直径就行了。我们按照 \(dfn\) 用线段树进行维护，那么我们每次只需要将子树区间重新 pushup 一下就可以了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<utility>
using namespace std;
inline long long read(){
	long long x=0;int w=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c)) x=x*10+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e5+10;
	int n,q;
	int ecnt=1,head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],go[maxn];
	long long W,w[maxn],dis[maxn];
	inline void addedge(){
		int a=read(),b=read();
		to[++ecnt]=b,nxt[ecnt]=head[a],head[a]=ecnt;
		to[++ecnt]=a,nxt[ecnt]=head[b],head[b]=ecnt;
		w[ecnt>>1]=read();
	}
	int dep[maxn],fa[maxn],top[maxn],siz[maxn],son[maxn],dfn[maxn],id[maxn];
	void dfs1(int x,int f){
		fa[x]=f,dep[x]=dep[f]+1,siz[x]=1;
		for(int u,i=head[x];i;i=nxt[i]) if((u=to[i])!=f){
			dis[u]=dis[x]+w[i>>1],dfs1(u,x),go[i>>1]=u;
			if(siz[u]>siz[son[x]]) son[x]=u;
			siz[x]+=siz[u];
		}
	}
	void dfs2(int x,int topf){
		top[x]=topf,dfn[x]=++dfn[0],id[dfn[0]]=x;
		if(!son[x]) return;
		dfs2(son[x],topf);
		for(int u,i=head[x];i;i=nxt[i]) if((u=to[i])!=fa[x] and u!=son[x]) dfs2(u,u);
	}
	inline int LCA(int x,int y){
		while(top[x]!=top[y]) dep[top[x]]>dep[top[y]]?(x=fa[top[x]]):(y=fa[top[y]]);
		return dep[x]<dep[y]?x:y;
	}
	#define ls (ro<<1)
	#define rs (ro<<1|1)
	#define mid ((l+r)>>1)
	namespace S{
		long long c[maxn];
		inline void upd(int x,long long k){for(;x<=n;x+=x&-x) c[x]+=k;}
		inline long long query(int x){long long ans=dis[id[x]];for(;x;x-=x&-x) ans+=c[x];return ans;}
		inline void update(int x,int y,long long w){upd(x,w),upd(y+1,-w);}
	}
	inline long long Dis(pair<int,int> a){return S::query(dfn[a.first])+S::query(dfn[a.second])-2*S::query(dfn[LCA(a.first,a.second)]);}
	namespace T{
		pair<int,int> e[maxn<<2];
		inline pair<int,int> merge(const pair<int,int>& a,const pair<int,int>& b){
			pair<int,int> p[6]={a,b,make_pair(a.first,b.first),make_pair(a.first,b.second),make_pair(a.second,b.first),make_pair(a.second,b.second)};
			long long dis[6];
			for(int i=0;i<6;i++) dis[i]=Dis(p[i]);
			return p[max_element(dis,dis+6)-dis];
		}
		void build(int ro=1,int l=1,int r=n){
			if(l==r) return e[ro]=make_pair(id[l],id[l]),void();
			build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
			e[ro]=merge(e[ls],e[rs]);
		}
		void update(int x,int y,int ro=1,int l=1,int r=n){
			if(x==l and y==r) return;
			if(y<=mid) update(x,y,ls,l,mid);
			else if(x>mid) update(x,y,rs,mid+1,r);
			else update(x,mid,ls,l,mid),update(mid+1,y,rs,mid+1,r);
			e[ro]=merge(e[ls],e[rs]);
		}
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef mid
	inline void work(){
		n=read(),q=read(),W=read();
		for(int i=1;i<n;i++) addedge();
		dfs1(1,0),dfs2(1,1);
		T::build();
		long long ans=0;
		while(q--){
			int e=(read()+ans)%(n-1)+1;
			long long v=(read()+ans)%W;
			S::update(dfn[go[e]],dfn[go[e]]+siz[go[e]]-1,v-w[e]),w[e]=v;
			T::update(dfn[go[e]],dfn[go[e]]+siz[go[e]]-1);
			printf("%lld\n",ans=Dis(T::e[1]));
		}
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}