CF111A Petya and Inequiations 题解

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请找出一个由 \(n\) 个正整数组成的数列 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，满足以下两种条件：

• \(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\geqslant x\)。
• \(\sum\limits_{i=1}^na_i\leqslant y\)。

数据范围：\(1\leqslant n\leqslant 10^5\)，\(1\leqslant x\leqslant 10^{12}\)，\(1\leqslant y\leqslant 10^6\)。

Solution

我们不妨设 \(f(x)=x^2(x>0)\)，然后画出这个函数的图像之后不难看出 \(f(x)\) 是增函数，且随着 \(x\) 的增长，其值越来越大。因此我们考虑这样的一个贪心：将前 \(n-1\) 个数全部赋值为 \(1\)，最后一个数赋值为 \(y-(n-1)=y-n+1\)。然后再计算 \(1^2\cdot(n-1)+(y-n+1)^2\) 是否 \(\geqslant x\)，是的话直接输出方案，否则输出 \(-1\)。

另外这题还要注意一个特判：因为题目中并没有保证 \(y\geqslant n\)，而要求的数列又要求全是正整数。所以如果 \(y<n\)，那么也无法得到合法的方案，输出 \(-1\)。

Code

ll ans[100007], xx;

int main() {
	int n = Rint; ll x = Rll; int y = Rint;
	if(y < n) return puts("-1"), 0;
	F(i, 2, n) ans[i] = 1;
	ans[1] = y - n + 1;
	F(i, 1, n) xx += 1ll * ans[i] * ans[i];
	if(xx < x) return puts("-1"), 0;
	F(i, 1, n) write(ans[i]), puts("");
	return 0;
}