【BZOJ3470】Freda’s Walk 概率与期望
【BZOJ3470】Freda’s Walk
Description
雨后的Poetic Island空气格外清新,于是Freda和Rainbow出来散步。 Poetic Island的交通可以看作一张n个点、m 边的有向无环图。由于刚下过雨,每条边都有一个积水深度,而恰好Freda 和Rainbow都喜欢踩水玩儿,于是Ta们从某个点出发,选择走向哪条边的概率与该边的积水深度是成正比的。即:如果Freda和Rainbow现在在点u,点u 出发的所有边的积水深度之和为s,从u到v的边积水深度为w,那么Ta们选择走向v的概率就是 w/s。
Ta们会一直走下去,直到到达一个没有出边的点,那么散步的路程长度就是走过的边的数量。更特殊的是,Freda和Rainbow在出发之前还可以选择一条边,在散步过程中无视这条边的存在(当然也可以不选择)。请你帮忙计算一下,Ta 们从0号点出发,散步的路程长度的期望值最大是多少?
Input
第一行两个正整数 n、m。
接下来m行每行三个整数u、v、w,表示从u到v有一条无向边,积水深度为w。
Output
输出Freda和Rainbow散步的路程长度的最大期望值,四舍五入保留六位小数。
Sample Input
0 1 2
0 2 1
0 3 3
1 3 1
2 3 4
Sample Output
HINT
对于 100% 的数据,2<=n<=10000,1<=m<=100000,0<=u,v<n,1<=w<=1000。
题解:由于是DAG,所以我们先反着跑拓扑排序,求出从每个点开始走的期望步数f[i],再正着跑拓扑排序,求出从0号点走到这个点的概率p[i]。
然后枚举删除那条边<a,b>。首先删除这条边会使答案减去p[a]*(f[b]+1),其次a的其他出边的概率都会增加。算一下贡献即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=10010;
const int maxm=100010;
int n,m,cnt;
int to[maxm],next[maxm],val[maxm],head[maxn],d[maxn],s[maxn],pa[maxm],pb[maxm],pc[maxm];
double ans;
double p[maxn],f[maxn];
queue<int> q;
inline void add(int a,int b,int c)
{
to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
inline int rd()
{
int ret=0,f=1; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-') f=-f; gc=getchar();}
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();
return ret*f;
}
int main()
{
n=rd(),m=rd();
int i,u,a,b,c;
memset(head,-1,sizeof(head)),cnt=0;
for(i=1;i<=m;i++) a=pa[i]=rd()+1,b=pb[i]=rd()+1,c=pc[i]=rd(),add(b,a,c),s[a]+=c,d[a]++;
for(i=1;i<=n;i++) if(!d[i]) q.push(i);
while(!q.empty())
{
u=q.front(),q.pop();
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])
{
d[to[i]]--,f[to[i]]+=(f[u]+1)*val[i]/s[to[i]];
if(!d[to[i]]) q.push(to[i]);
}
}
memset(head,-1,sizeof(head)),cnt=0;
for(i=1;i<=m;i++) add(pa[i],pb[i],pc[i]),d[pb[i]]++;
p[1]=1;
for(i=1;i<=n;i++) if(!d[i]) q.push(i);
while(!q.empty())
{
u=q.front(),q.pop();
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])
{
d[to[i]]--,p[to[i]]+=p[u]*val[i]/s[u];
if(!d[to[i]]) q.push(to[i]);
}
}
ans=f[1];
for(i=1;i<=m;i++)
{
a=pa[i],b=pb[i],c=pc[i];
double g=(f[a]-(f[b]+1)*c/s[a])*s[a]/(s[a]-c)-f[a];
ans=max(ans,f[1]+g*p[a]);
}
printf("%.6lf",ans);
return 0;
}
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