用Python写算法题--洛谷P1149 火柴棒等式

题目

题目来源

P1149 火柴棒等式，https://www.luogu.org/problem/P1149

题目描述

给你n根火柴棍，你可以拼出多少个形如“A+B=C”的等式？等式中的A、B、C是用火柴棍拼出的整数（若该数非零，则最高位不能是00）。用火柴棍拼数字0-90−9的拼法如图所示：

注意：

1. 加号与等号各自需要两根火柴棍
2. 如果A≠B，则A+B=C与B+A=C视为不同的等式(A,B,C>=0)
3. n根火柴棍必须全部用上

输入格式

一个整数n(n<=24)。

输出格式

一个整数，能拼成的不同等式的数目。

输入输出样例

样例1:

输入

14

输出

2

样例2

输入

18

输出

9

解法

方法1:暴力打表法

因为n的最大值只有24，那么可以直接提前把答案穷举出来。

# 0-9需要多少根火柴棒
num =[6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6]

# 输入一个数，计算需要多少火柴棒
def count(x):
    if x == 0:
        return 6
    c = 0
    while x > 0:
        digit = x % 10
        c += num[digit]
        x = x // 10
    return c

result = [0] * 24

for n in range(10, 25): #10根火柴以下都是0，很明显
    print("caculate ", n)
    for i in range(0, 10000): #假设单个数字最大值为10000
        for j in range(0, 10000):
            if count(i) + count(j) + count(i+j) == n - 4:
                result[n-1] += 1
print(result)

上述代码在我的电脑上跑半天也出不来，最大值改成2000就可以。同样的代码，用Java很快就出结果了，足以说明Python并不适合这一类的题目。

public class Test {
	public static void main(String[] args) {
		int[] result = new int[24];
		for(int i = 10; i <= 24; i++) {
			for(int j = 0; j < 10000; j++) {
				for(int k = 0; k < 10000; k++) {
					if(count(j) + count(k) + count(j+k) == i - 4) {
						result[i] += 1;
					}
				}
			}
		}
		for(int i = 0; i < 24; i++) {
			System.out.println(result[i]);
		}

	}
	public static int[] num = {6,2,5,5,4,5,6,3,7,6};
	public static int count(int x) {
		if(x == 0) {
			return 6;
		}
		int c = 0;
		while (x > 0) {
			int digit = x % 10;
			c += num[digit];
			x = x / 10;
		}
		return c;
	}
}

最后结果是{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,8,9,6,9,29,39,38,65,88,128}。

但是虽然是暴力穷举，但是上面代码有个问题，每次都要重复调用count，提前把count存起来就行了，虽然用Python还是很慢，但是能够在可接受时间内出结果。

# 0-9需要多少根火柴棒
num =[6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6]

# 输入一个数，计算需要多少火柴棒
def count(x):
    if x == 0:
        return 6
    c = 0
    while x > 0:
        digit = x % 10
        c += num[digit]
        x = x // 10
    return c

COUNT = [0] * 20000
for i in range(0, 20000):
    COUNT[i] = count(i)

result = [0] * 24

for n in range(10, 25):
    print("caculate ", n)
    for i in range(0, 10000):
        for j in range(0, 10000):
            if COUNT[i] + COUNT[j] + COUNT[i+j] == n - 4:
                result[n-1] += 1
print(result)

方法2:优化上述方法

没有什么更好的方法，我们可以尽量减少循环次数，另外，如果能知道单个数的最大值，那就更好办了。

要想用最少的火柴棒拼出最大的数，那优先得拼出最大的数字个数，因为999肯定要比1111小，因为一个数字至少2个火柴，所以对于偶数个火柴，肯定是用拼成11111这样的最大，例如10根火柴，能拼出的最大数是11111，20个火柴，能拼出的最大数是1111111111。

假设最大值超过10000，那至少需要10根，能拼出11111，剩下10根分成8+2根，两个凑起来不可能超过10000，所以最大值不超过10000。

假设最大值可能位于[9000,10000)，至少需要12根，能拼出9111，剩下8根不可能加起来等于这个数。

假设最大值可能位于[8000,9000)，至少需要13根，更不可能。

假设最大值可能位于[7000,8000)，至少需要9根，也就是7111，剩下11根，，如果分成9+2，2根只能是1，所以9根必须拼成7110，不够数。

假设最大值可能位于[6000,7000)，至少需要12根，剩下8根也不行。

假设最大值可能位于[5000,6000)，至少需要11根，剩下9根能拼出的最大4位数是7xxx或者1xxx，加起来不可能是5000。对于[2000,5000)也一样。

假设最大值可能位于[1900,2000]，那么最少需要12根，1911，剩下的没法相加为1911。

依次分析，我们发现最大数不可能大于1111。通过程序结果来看，最大值为712。

改进之后，不用打表也能AC。

# 0-9需要多少根火柴棒
num =[6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6]

# 输入一个数，计算需要多少火柴棒
def count(x):
    if x == 0:
        return 6
    c = 0
    while x > 0:
        digit = x % 10
        c += num[digit]
        x = x // 10
    return c

COUNT = [0] * 713
for i in range(0, 713):
    COUNT[i] = count(i)

result = 0

n = int(input())

for i in range(0, 712):
    for j in range(0, 712):
        if i + j > 712:
            continue
        if COUNT[i] + COUNT[j] + COUNT[i+j] == n - 4:
            result += 1

print(result)