AtCoder Grand Contest 016 F - Games on DAG

题目传送门：https://agc016.contest.atcoder.jp/tasks/agc016_f

题目大意：

给定一个\(N\)点\(M\)边的DAG，\(x_i\)有边连向\(y_i\)，保证\(x_i<y_i\)，原图有\(2^M\)个生成子图，对于每个子图\(G'\)，\(A,B\)两人正在玩一个游戏：初始时点1,2上有棋子，每次操作可以把某个棋子沿有向边移动一步，最后不能操作的人为输。问有多少个子图\(G'\)满足先手必胜

---

这种神题一看就不会写……首先考虑博弈，先手必胜的话当且仅当\(sg[1]!=sg[2]\)，这样不好求，我们考虑求\(sg[1]=sg[2]\)的方案

考虑状压dp，记\(f[S]\)表示只考虑\(S\)这个点集，使得\(sg[1]=sg[2]\)的方案数

枚举\(S\)的一个子集\(T\)，其补集为\(U\)，假设\(U\)集合的\(sg\)值都为0，而\(T\)集合都不为0,，考虑转移：

\(U\)内部的边：一条都不能连

\(U\)到\(T\)的边：随便连

\(T\)到\(U\)的边：\(T\)中的点至少有一条出边

如何保证1,2的\(sg\)相同，保证他们在同一个集合里即可

至少连边和随意连边我们可以预处理出来，一次转移为\(O(n)\)，所以总复杂度为\(O(3^n*n)\)

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
#define min(x,y) (x<y?x:y)
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=15,p=1e9+7;
bool map[N+10][N+10];
int f[N+10][(1<<N)+10],g[N+10][(1<<N)+10];
int dp[(1<<N)+10],ID[(1<<N)+10];
int mlt(int a,int b){
	int res=1;
	for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)	if (b&1)	res=1ll*res*a%p;
	return res;
}
int main(){
	int n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)	ID[1<<(i-1)]=i;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int x=read(),y=read();
		map[x][y]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int sta=1;sta<1<<n;sta++)
			f[i][sta]=f[i][sta^lowbit(sta)]+map[i][ID[lowbit(sta)]];
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int sta=1;sta<1<<n;sta++){
			int k=ID[lowbit(sta)];
			if (!map[i][k])	g[i][sta]=g[i][sta^lowbit(sta)];
			else	g[i][sta]=(2ll*g[i][sta^lowbit(sta)]%p+1)%p;
		}
	}
	for (int sta=1;sta<1<<n;sta++){
		dp[sta]=1;
		for (int sub=(sta-1)&sta;sub;sub=(sub-1)&sta){
			if ((sub&1)&&((sta^sub)&2))	continue;
			if ((sub&2)&&((sta^sub)&1))	continue;
			int res=1,tmp=0;
			for (int i=1;i<=n;i++)	if (sub&(1<<(i-1)))	res=1ll*res*g[i][sta^sub]%p;
			for (int i=1;i<=n;i++)	if ((sta^sub)&(1<<(i-1)))	tmp+=f[i][sub];
			res=1ll*res*mlt(2,tmp)%p;
			dp[sta]=(dp[sta]+1ll*res*dp[sub])%p;
		}
	}
	printf("%d\n",(mlt(2,m)-dp[(1<<n)-1]+p)%p);
	return 0;
}