【（好题）组合数+Lucas定理+公式递推（lowbit+滚动数组）+打表找规律】2017多校训练七 HDU 6129 Just do it

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6129

【题意】

• 对于一个长度为n的序列a，我们可以计算b[i]=a1^a2^......^ai，这样得到序列b
• 重复这样的操作m次，每次都是从上次求出的序列a得到一个新序列b
• 给定初始的序列，求重复m次操作后得到的序列

【方法一】

假定n=5,我们模拟一次可以发现，经过m次操作后a1在b1......bn中出现的次数为：

• m=0: 1 0 0 0 0
• m=2: 1 2 3 4 5
• m=3: 1 3 6 10 15
• m=4:1 4 10 20 35
• m=5:1 5 15 35 70

（画个杨辉三角出来就可以看出这些都是组合数）

容易推出来操作m次后，a1在答案bi中出现的次数C(m+i-2,m-1),由于是异或，我们只需知道C(m+i-2,m-1)%2

根据Lucas定理（2是素数），x=m-1,y=m+i-2,C(x,y)%2为x和y写成二进制后每一位C(xi,yi)%2的连乘，可以发现，只有C(0,1)是0，也就是C(x,y)%2==0  <=> y的二进制位置为1的集合是x的子集 <=> (x&y)==y

这道题m=1的时候是n^2的，然而这个复杂度是可以过的（奇怪）

附上AC代码

【AC】

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=2e5+;
 ll a[maxn];
 ll b[maxn];
 int n;
 ll m;
 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         memset(b,,sizeof(b));
         scanf("%d%I64d",&n,&m);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%I64d",&a[i]);
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             ll y=m-;
             ll x=m+i-;
             if((x&y)==y)
             {
                 for(int j=i;j<=n;j++)
                 {
                     b[j]^=a[j-i+];
                 }
             }
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(i==) printf("%I64d",b[i]);
             else printf(" %I64d",b[i]);
         }
         puts("");
     }
     return ;
 }

【经验】

• 把a,b二进制表达后b中1的位置是a中1的位置的子集    <=> (a&b)==b
• C(2^k-1,i)%2==1                     <=>               0<=i<=2^k-1

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【方法二】

dp(i, j)表示第i次变换第j列的数。 
dp(i, j) = dp(i, j-1)^dp(i-1, j) = dp(i, j-2)^dp(i-1, j-1)^dp(i-1, j-1)^dp(i-2, j) = dp(i, j-2)^dp(i-2, j) => dp(i, j-2^n)^dp(i-2^n, j) 
从m中的最高位或最低位开始递推。

类似于dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1],最后求dp[m][j](1<=j<=n)我们可以开一个滚动数组从前往后递推(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j+1]则是从后往前推)

 for(int i=;i<=m;i++)
 {
     for(int j=;j<=n;j++)
     {
         dp[j]^=dp[j-];
     }
 }

dp[i][j]=dp[i-1][j]^dp[i][j-1]

计算dp[i][j]=dp[i-2^n][j]^dp[i][j-2^n]，用lowbit从右往左枚举m的每一位，每一次都对整列进行更新。

 while(m)
 {
     int x=lowbit(m);
     for(int j=x;j<=n;j++)
     {
         dp[j]^=dp[j-x];
     }
     m-=x;
 }

dp[i][j]=dp[i-2^n]^dp[i][j-2^n]

【AC】

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=2e5+;
 int n,m;
 int dp[maxn];
 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             scanf("%d",&dp[i]);
         }
         while(m)
         {
             int x=m&(-m);
             for(int i=x;i<n;i++)
             {
                 dp[i]^=dp[i-x];
             }
             m-=x;
         }
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             if(i==) printf("%d",dp[i]);
             else printf(" %d",dp[i]);
         }
         puts("");
     }
     return ;
 }

递推+lowbit+滚动数组

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【方法三】

http://m.blog.csdn.net/silence255713/article/details/77200056