NOI2013 Day2

NOI2013 Day2

矩阵游戏

题目描述：设矩阵\(F\)



求\(F[n][m](mod (10^9+7))\)

solution:

这题可以求通项解决。

设\(X_i=F[i][m]\)，

\((a-1)X_1=a^{m-1}((a-1)+b)-b\)

令\(P=10^9+7\)，\(P\)是公认的质数，所以运用费马小定理：

\(a^{P-1} \equiv 1 (mod P)\)

设\(m-1=kP+z\),则\(a^{m-1} \equiv a^z(mod P)\)

算出右式，然后再用费马小定理处理除法，求出\(X_1\)

\((a-1)X_{i+1}=a^{m-1}((cX+d)(a-1)+b)-b\)

化简得：

\((a-1)X_{i+1}=a^{m-1}(a-1)cX+a^{m-1}((a-1)d+b)-b\)

形如：\((a-1)X_{i+1}=AX_i+B\)

求通项。求出\(X_n\)

这题也可以用矩阵乘法，将矩阵乘法的二进制变成十进制就好了。

时间复杂度：\(O(n)\)

书法家

题目描述：在一个\(n\)行\(m\)列的矩阵中，每个格有对应的值，现在矩阵中画\('NOI'\),下面给出三个书法字的定义：

1、 \(’N’\)由若干 (\(\geq 3\)) 个边平行于坐标轴的矩形组成，设由\(K\)个矩形组成(标号\(1 ~ K\))，第\(i\)个矩形的左下角\(方格\)坐标设为\((L_i, B_i)\)，右上角坐标设为\((R_i, T_i)\)，要求满足：

a) \(L_i \leq R_i,B_i \leq T_i\)

b) 对任意\(1 < i \leq K\)，有\(L_i= R_{i−1} + 1\)；

c) 对任意\(3 \leq i < K\)，有\(B_{i-1}− 1 \leq T_i \leq T_{i−1}\)，\(B_i \leq B_{i−1}\)；

d) \(B_2 > B_1, T_2 = T_1， B_{K−1} = B_K， T_{K-1} < T_K\)；

2、 \(’O’\)由一个大矩形\(A\)，挖去一个小矩形\(B\)得到， 这两个矩形的边都平行于坐标轴。 设大矩形 A 左下角的方格坐标为 \((u , v)\), 长为\(W\)， 宽为\(H\) ， 则小矩形 B 满足左下角方格坐标为\((u + 1, v + 1)\)， 长 \(W − 2\)，宽\(H − 2\)。 要

求满足：

a) \(W ≥ 3, H ≥ 3\)

b) \(u > R_K + 1\)

3、 \(’I’\)为\(3\)个边平行于坐标轴的从下到上的实心矩形组成，从下到上依次标号为\(1,2,3\)，第\(i\)个矩形的左下角格子坐标设为\((P_i, Q_i)\)，右上角格子坐标设为\((G_i, H_i)\)，要求满足：

a) \(P_i \leq G_i, Q_i \leq H_i\)

b) \(P_1 = P_3 > u + W, G_1 = G_3\)

c) \(Q_1 = H_1 = Q_2 − 1, H_2 + 1 = Q_3 = H_3\)

d) \(P_1 < P_2 \leq G2 < G1\)

求\(‘NOI'\)覆盖的格子的值的和的最大值。

solution：

从左到右dp，\(N,O,I\)各分成三个阶段，相邻之间有空列，再加两个阶段。\(f[i][j][k]\)表示到第\(i\)个阶段，上界为\(j\)，下界为\(k\)的最大值。转移方程有点烦，直接上代码。

时间复杂度：\(O(11mn^2)\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <complex>
using namespace std;

const int maxn=160;
const int maxm=510;
const int oo=int(1e9);
typedef int arr[maxn][maxm];

int n, m, ans;
int a[maxn][maxm], sum[maxn][maxm];
int  f[2][12][maxn][maxn], g[12][maxn][maxn];

void init()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		for (int j=1; j<=m; ++j)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	for (int j=1; j<=m; ++j)
		for (int i=1; i<=n; ++i)
			sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];
}
void calc_g()
{
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		for (int j=n; j>=i; --j)
			g[1][i][j]=max(g[1][i][j+1], f[0][1][i][j+1]);

	for (int j=1; j<=n; ++j)
		for (int i=1; i<=j; ++i)
			g[2][i][j]=max(g[2][i-1][j], f[0][2][i][j]);

	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		g[3][i][i-1]=g[2][i-1][i-1];
		for (int j=i; j<=n; ++j)
			g[3][i][j]=max(g[3][i][j-1], g[2][i][j]);
	}

	for (int j=1; j<=n; ++j)
		for (int i=j; i>=1; --i)
			g[4][i][j]=max(g[4][i+1][j], f[0][2][i+1][j]);
}
void solve()
{
	for (int k=1; k<=11; ++k)
		for (int i=0; i<=n+1; ++i)
			for (int j=0; j<=n+1; ++j)
				f[0][k][i][j]=g[k][i][j]=-oo;
	ans=-oo;
	for (int i=1; i<=m; ++i)
	{
		calc_g();
		f[1][4][1][1]=f[0][4][1][1];
		f[1][8][1][1]=f[0][8][1][1];
		for (int j=1; j<=n; ++j)
			for (int k=j; k<=n; ++k)
			{
				int tmps=sum[k][i]-sum[j-1][i];
				int tmpa=a[j][i]+a[k][i];

				//N:
				f[1][1][j][k]=max(f[0][1][j][k], 0)+tmps;
				f[1][2][j][k]=max(g[1][j][k], g[3][j][k])+tmps;
				f[1][3][j][k]=max(g[4][j][k], f[0][3][j][k])+tmps;

				f[1][4][1][1]=max(f[1][4][1][1], f[0][3][j][k]);

				//O:
				if (j+1<k)**注意题目**
				{
					f[1][5][j][k]=f[0][4][1][1]+tmps;
					f[1][6][j][k]=max(f[0][5][j][k], f[0][6][j][k])+tmpa;
					f[1][7][j][k]=f[0][6][j][k]+tmps;
					f[1][8][1][1]=max(f[1][8][1][1], f[0][7][j][k]);
				}

				//I:
				if (j+1<k)**注意题目**
				{
					f[1][9][j][k]=max(f[0][8][1][1], f[0][9][j][k])+tmpa;
					f[1][10][j][k]=max(f[0][9][j][k], f[0][10][j][k])+tmps;
					f[1][11][j][k]=max(f[0][10][j][k], f[0][11][j][k])+tmpa;
					ans=max(ans, f[1][11][j][k]);
				}
			}
		for (int j=1; j<=n; ++j)
			for (int k=j; k<=n; ++k)
				for (int p=1; p<=11; ++p)
				{
					f[0][p][j][k]=f[1][p][j][k];
					f[1][p][j][k]=-oo;
				}
	}
}
int main()
{
	freopen("penman.in", "r", stdin);
	freopen("penman.out", "w", stdout);
	init();
	solve();
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

快餐店

题目描述：给出一个只有一个环的连通图，保证环上的点数大于等于\(3\)，求一个点(边上或点)到最远的点最近，求这一距离。

solution:

环上的点的子树求直径更新答案，然后求出子树深度作为该点的点权。



枚举快餐店在那一条边\((i)\)，环上的点分成了离左端点近，和离右端点近，求出离左端点近的，边权加点权最远的点\((P_1)\)右端点亦然\((P_2)\)，求出\(W=P_1->P_2(经i的路径边权)+P_1点权+P_2点权\)，若\(W/2\),即路径中点在\(i\)上，则用\(W/2\)更新答案，否则左端点和右端点更新答案（因为要求快餐店在\(i\)上）

至于如何求最远点，按某一时针枚举边，左边和右边的单调性是不变的，因为只是多了一条边和少了一条边，所以可以用单调队列维护。

时间复杂度：\(O(n)\)