图论最短路径算法——Dijkstra

说实在的，这算法很简单，很简单，很简单……因为它是贪心的，而且码量也小，常数比起SPFA也小。

主要思想

先初始化，dis[起点]=0，其它皆为无限大。

还要有一个bz数组，bz[i]表示i是否确定为最短路径

for i=1 to n
{
    在未确定最短路径的点中找出u使dis[u]最小
    bz[u]=1;
    更新与u相连的所有点
}

就这么简单。

实现讲解

其实也很好实现。可以用邻接表储存，也可以用邻接矩阵储存，虽然会慢一点。因为Dijkstra算法本就是对付稠密图的，不过我还是建议用邻接表，见SPFA实现讲解

注意事项

Dijkstra不能处理负边权的状况，所以要看清题目大意才用它哦！

具体代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <limits.h>
using namespace std;
struct _Way//定义_Way类型，表示某点到点y的距离为len
{
    int y,len;
};
int n,m;
int q;
_Way way[1001][1001] {};//way[i][j]表示从i开始的第j条路
_Way* bz[1001][1001] {};//读入时标记，防止重边出现。bz[i][j]指向从i到j的直接路径
int now[1001] {};//now[i]表示从i开始的边的数量
int dis[1001] {};//dis[i]表示从起点到i的最短路径
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
void Dijkstra(int);
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,len;
        cin>>x>>y>>len;
        if (bz[x][y]!=NULL)//若重边则替换之
        {
            bz[x][y]->len=min(bz[x][y]->len,len);
            continue;
        }
        now[x]++;
        way[x][now[x]].y=y;
        way[x][now[x]].len=len;
        bz[x][y]=&(way[x][now[x]]);//标记好地址
    }
    cin>>q;
    Dijkstra(q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {

        if (dis[i]!=INT_MAX)
            cout<<dis[i]<<endl;
        else
            cout<<"-1"<<endl;
    }
    return 0;
}
void Dijkstra(int q)//注意Dijkstra算法不能有负边权
{
    bool bz[1001] {};//bz[i]表示点i是否已标记成最短路径
    for(int i=0;i<=n;i++)
        dis[i]=INT_MAX;
    dis[q]=0;//初始化
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int u {};
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if ((!bz[j])&&(dis[j]<dis[u]))
                u=j;//u为未确定点中dis最小的点
        if (u==0) break;
        bz[u]=1;//标记为确定点
        for(int i=1;i<=now[u];i++)
            dis[way[u][i].y]=min(dis[way[u][i].y],dis[u]+way[u][i].len);//更新与其相连的所有点
    }
}

优化

用堆优化，暂时不会。

SPFA和Dijkstra哪个强？

SPFA擅长于稀疏图，而Dijkstra擅长于稠密图

SPFA可以处理负边权，Dijkstra不可以处理负边权

SPFA时间复杂度为O(kE)，Dijkstra时间复杂度为O(n^2)

SPFA的空间要比Dijkstra多一个队列

SPFA的优化有SLF和LLL，Dijkstra的优化有堆优化

SPFA和Dijkstra均不可以处理负权回路

SPFA的时间系数要比Dijkstra大（Floyed和Ford笑了）

SPFA和Dijkstra都是单源的（Floyed又笑了）

没有边的图 O(1)特殊判断 SPFA秒过，完全图Dijkstra秒过（Floyed和Ford骄傲地说：“我们的时间是固定的！”）