3.Sqrt(x)

要求：Implement int sqrt(int x).  Compute and return the square root of x.

解决方法：

1.牛顿法（Newton's method）

化解：计算  x² = a 的解，令 y = x² - a，相当于求解 y = 0 的解，f(x) 如图。

第一步：取 x₀ = a / 2 , 如果  x₀ 不是解，在点( x₀，y₀) 做切线 y - y₀ = (x - x₀) * y'₀ ，与 x 轴的交点为 x₁ = x₀ - y₀ / y'₀ = x₀ - (x_0² - a) / (2x₀) = (x₀ + a / x₀) / 2 。

第二步：如果 x₁ 不是解，做一个经过  ( x₁，y₁) 这个点的切线，与x轴的交点为 x₂。

…………

结束条件：

a.  f( x_i ) ≈ 0;

b. x_{i ^≈} x_i-1^.

代码：

inline double ABS(double x){
    return x > 0 ? x : (-1 * x);
}

class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {
        /* 用牛顿迭代法求浮点数的平方根 */
        double g0 = 0, g1 = x;
        while(ABS(g1-g0) > 0.9)
        {
            g0 = g1;
            g1 = (g0 + (x / g0)) / 2;
        }
        return floor(g1); // (int)g1
    }
};

 2. 分治法（Divide and conquer）

a = 0 时，返回 0.

a = 1 时，返回 1.

a > 1 时，返回的数在序列 1 与 a/2 之间，序列有序，所以可以用二分法查找。

代码如下：

class Solution {
public:
   int sqrt(int x){
       /***********  二分法  ************/
       /*********************************/
       if(x == 0) return 0;
       if(x == 1) return 1;
       unsigned long long begin = 1, end = x >> 1;
       while(begin < end)
       {
            unsigned long long mid = (begin + end) >> 1;
            unsigned long long  tem = mid * mid;
            if(tem == x) return mid;
            else if(tem > x) end = mid -1;
            else begin = mid + 1;
       }
       if(begin = end)
       {
          unsigned long long tem = end * end;
          if(tem <= x) return end;
          if(tem > x)  return end - 1;
       }
       else return end;
    }
};

3. 构造数字

从高位到低位，依次试探添加 1。

class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {
        int ans = 0;
        int bit = 0X40000000;
        while(bit > 0) {
            ans |= bit;
            if (ans > x / ans) {
                ans ^= bit;
            }
            bit >>= 1;
        }
        return ans;

    }
};