浅谈压缩感知（十五）：感知矩阵之spark常数

在压缩感知中，有一些用来评价感知矩阵（非测量矩阵）的指标，如常见的RIP等，除了RIP之外，spark常数也能够用来衡量能否成为合适的感知矩阵。

0、相关概念与符号

1、零空间条件NULL Space Condition

在介绍spark之前，先考虑一下感知矩阵的零空间。

这里从矩阵的零空间来考虑测量矩阵需满足的条件：对于K稀疏的信号x，当且仅当测量矩阵的零空间与2K个基向量张成的线性空间没有交集，或者说零空间中的向量不在2K个基向量张成的线性空间中。

上述描述的性质似乎有点难懂，那么与之等价的表述就是spark常数。

2、spark常数定义

简单来说就是，矩阵列线性相关向量组的最小数目。（注意，这里的矩阵指的是感知矩阵，即，并非测量矩阵或稀疏基）

3、spark评价定理

当且仅当spark(Φ)>2k时，可以通过最小0范数优化问题得到k-稀疏信号x的精确近似。

4、线性相关

定义：

定理：

性质：

5、定理证明

反证法。

第一步证明：对于任意的向量y，存在至多一个K稀疏的信号x，使得，则。

证明：假设，即根据定义感知矩阵的线性相关列小于或等于2K，从线性相关的定义出发，

存在某个向量，即，使得且h不等于0。

由于，则h可以表示为：，因此

从而得到。

但是我们的条件中说明了至多只有一个K稀疏的信号x，因此与原条件矛盾，故假设不成立，原命题成立。

第二步证明：对于任意的向量y，满足且的K稀疏信号x至多有一个。

证明：假设K稀疏信号x至少有两个，设为，则。

因为，即根据定义感知矩阵的线性相关列大于2K，从线性相关的定义出发，

存在某个向量，使得，且h不等于0。而感知矩阵的零空间应该大于2K维，而假设中的h所在子空间小于或等于2K维，要满足，当且仅当h=0的时候，即，与原假设矛盾，因此假设不成立，原命题成立。

6、spark常数与矩阵的秩

虽然spark与秩(rank)在某些方面很相似，但它们实际上是完全不同的，矩阵的秩是最大的线性无关的列数，而Spark是最小的线性相关的列数；有的时候矩阵满秩但spark=2。

还是通过例子理解吧：