洛谷P4721 【模板】分治 FFT（生成函数+多项式求逆）

传送门

我是用多项式求逆做的因为分治FFT看不懂……

upd:分治FFT的看这里

话说这个万恶的生成函数到底是什么东西……

我们令$F(x)=\sum_{i=0}^\infty f_ix^i,G(x)=\sum_{i=0}^\infty g_ix^i$，且$g_0=0$

这俩玩意儿似乎就是$f(x)$和$g(x)$的生成函数

那么就有$$F(x)G(x)=\sum_{i=0}^\infty x^i\sum_{j+k=i}f_jg_k$$

然后根据题目，有$$f_i=\sum_{j=1}^if_{i-j}g_j$$

然后因为$g_0=0$，所以

$$f_i=\sum_{j+k=i}f_jg_k$$

又因为该式子只有在$i=0$时不成立，于是代入并手算一下$i=0$的时候，可得$$F(x)G(x)=\sum_{i=0}^\infty f_ix^i-f_0x^0$$

又因为$f_0=x^0=1$，可得$$F(x)G(x)=F(x)-1$$

然后我们只要求它的前$n$项就可以了，所以取模$$F(x)G(x)\equiv F(x)-1\pmod{x^n}$$

然后移项$$F(x)\equiv\frac{1}{1-G(x)}\pmod{x^n}$$

$$F(x)\equiv(1-G(x))^{-1}\pmod{x^n}$$

然后去隔壁把多项式求逆的板子抄来就好了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
 #define mul(x,y) (1ll*x*y%P)
 #define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
 #define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y)
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char sr[<<],z[];int C=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
 inline void print(int x){
     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
 }
 const int N=,P=,G=;
 inline int ksm(int a,int b){
     int res=;
     while(b){
         if(b&) res=mul(res,a);
         a=mul(a,a),b>>=;
     }
     return res;
 }
 int n,r[N],g[N],f[N],A[N],B[N],O[N];
 void NTT(int *A,int type,int len){
     int limit=,l=;
     while(limit<len) limit<<=,++l;
     for(int i=;i<limit;++i)
     r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(l-));
     for(int i=;i<limit;++i)
     if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
     for(int mid=;mid<limit;mid<<=){
         int R=mid<<,Wn=ksm(G,(P-)/R);O[]=;
         for(int j=;j<mid;++j) O[j]=mul(O[j-],Wn);
         for(int j=;j<limit;j+=R){
             for(int k=;k<mid;++k){
                 int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
                 A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
             }
         }
     }
     if(type==-){
         reverse(A+,A+limit);
         for(int i=,inv=ksm(limit,P-);i<limit;++i)
         A[i]=mul(A[i],inv);
     }
 }
 void work(int *a,int *b,int len){
     if(len==) return (void)(b[]=ksm(a[],P-));
     work(a,b,len>>);
     for(int i=;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
     NTT(A,,len<<),NTT(B,,len<<);
     for(int i=;i<(len<<);++i)
     A[i]=mul(mul(A[i],B[i]),B[i]);
     NTT(A,-,len<<);
     for(int i=;i<len;++i) b[i]=dec(1ll*b[i]*%P,A[i]);
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read();
     for(int i=;i<n;++i) g[i]=read();
     int len;for(len=;len<n;len<<=);
     for(int i=;i<n;++i) g[i]=P-g[i];g[]=;
     work(g,f,len);
     for(int i=;i<n;++i) print(f[i]);
     Ot();
     return ;
 }