【bzoj2969】矩形粉刷 期望

题目描述

为了庆祝新的一年到来，小M决定要粉刷一个大木板。大木板实际上是一个W*H的方阵。小M得到了一个神奇的工具，这个工具只需要指定方阵中两个格子，就可以把这两格子为对角的，平行于木板边界的一个子矩形全部刷好。小M乐坏了，于是开始胡乱地使用这个工具。

假设小M每次选的两个格子都是完全随机的（方阵中每个格子被选中的概率是相等的），而且小M使用了K次工具，求木板上被小M粉刷过的格子个数的期望值是多少。

输入

第一行是整数K，W，H

输出

一行，为答案，四舍五入保留到整数。

样例输入

1 3 3

样例输出

4

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题解

期望

由于期望具有可加性，因此可以计算出每个格子被染色的概率，加起来即为答案。

那么一个格子被染色的概率即为$1-(每次都不被染色的概率)^k$。

考虑单次染色没有没染的情况：选定的两个点都在左边、上边、右边、下边，但是会发现四个角的部分会计算两次，因此还需要减掉两个点都在左上、左下、右上、右下的情况。然后求幂加起来即可。

#include <cmath>
#include <cstdio>
inline double squ(double x)
{
	return x * x;
}
int main()
{
	int k , n , m , i , j;
	double ans = 0;
	scanf("%d%d%d" , &k , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			ans += 1 - pow((squ((i - 1) * m) + squ((j - 1) * n) + squ((n - i) * m) + squ((m - j) * n)
				          - squ((i - 1) * (j - 1)) - squ((i - 1) * (m - j)) - squ((n - i) * (j - 1)) - squ((n - i) * (m - j))) / squ(n * m) , k);
	printf("%.0lf\n" , ans);
	return 0;
}