P4199 万径人踪灭 FFT + manacher

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

一行，一个只包含a,b两种字符的字符串

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

一行，一个整数表示问题的答案

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

abaabaa

aaabbbaaa

aaaaaaaa

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

14

44

53

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

对于题目中的两个条件，首先我们不考虑是否连续，只考虑是否对称

那么我们对于每一个对称轴，在两边找刚好位置对称字符相同的位置对数，看看有几对

每个位置选或不选（不考虑是否连续），就是2的这么多次方

暴力找显然是\(O(n^2)\)的，我们考虑优化这个过程

对于每个对称轴，答案为\(\sum [i和pos*2-i是否匹配]\)

这两个位置相加为定值！

考虑用FFT优化这个过程

先构造函数，因为涉及a， b，不太好操作，我们把a，b分开处理

构造\(f_i= \left\{\begin{aligned}0\ \ \ \ \ \ s_i =b \\ 1 \ \ \ \ \ s_i = a\end{aligned}\right.\)

因为我们本就是对称匹配，所以序列不用翻转，直接FFT就行

对b同理操作，把两次的多项式加起来，得到的就是每个对称轴对称的对数

+1在/2就是总数，然后让他2的这么多次方再-1（因为不能为空）

之后我们考虑连续的

连续的，当且仅当以对称轴为中心，两边连续延伸出一些，没有空的（要连续）

这个的方案数是什么呢？ 显然这是个回文串，回文串的半径即为所求

于是qwq。。。manacher啊

把上面的ans在减去每个位置的回文半径就是ans了

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
    char ch; LL x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int mox = 1e9 + 7;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 4e5 + 10;
int r[maxn], len, R[maxn];
using std::vector;
LL ksm(LL x, LL y, LL p) {
    LL re = 1LL;
    while(y) {
        if(y & 1) re = re * x % p;
        x = x * x % p;
        y >>= 1;
    }
    return re;
}
void FNTT(vector<int> &A, int flag) {
    A.resize(len);
    for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);
    for(int l = 1; l < len; l <<= 1) {
        int w0= ksm(3, (mod - 1) / (l << 1), mod);
        for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) {
            int w = 1, a0 = i, a1 = i + l;
            for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = 1LL * w0 * w % mod) {
                int tmp = 1LL * A[a1] * w % mod;
                A[a1] = ((A[a0] - tmp) % mod + mod) % mod;
                A[a0] = (A[a0] + tmp) % mod;
            }
        }
    }
    if(!(~flag)) {
        std::reverse(A.begin() + 1, A.end());
        int inv = ksm(len, mod - 2, mod);
        for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 1LL * inv * A[i] % mod;
    }
}
vector<int> operator * (vector<int> A, vector<int> B) {
    int tot = A.size() + B.size() - 1;
    FNTT(A, 1), FNTT(B, 1);
    vector<int> ans;
    ans.resize(len);
    for(int i = 0; i < len; i++) ans[i] = 1LL * A[i] * B[i] % mod;
    FNTT(ans, -1);
    ans.resize(tot);
    return ans;
}
char s[maxn], t[maxn];
void manacher(int L) {
	int maxright = 0, pos = 0;
	for(int i = 0; i < L; i++) {
		if(i < maxright) R[i] = std::min(maxright - i, R[(pos << 1) - i]);
		else R[i] = 1;
		while(i + R[i] < L && i - R[i] >= 0 && t[i + R[i]] == t[i - R[i]]) R[i]++;
		if(i + R[i] - 1 > maxright) maxright = i + R[i] - 1, pos = i;
	}
}
int main() {
	scanf("%s", s);
	int L = strlen(s);
	vector<int> a, b, c;
	for(int i = 0; i < L; i++) a.push_back(s[i] == 'a');
	for(len = 1; len <= L + L; len <<= 1);
	for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));
	b = a * a;
	a.clear();
	for(int i = 0; i < L; i++) a.push_back(s[i] == 'b');
	c = a * a;
	for(int i = 0; i < len; i++) c[i] += b[i];
	for(int i = 0; i < L; i++) {
		t[i << 1] = s[i];
		t[(i << 1) + 1] = '&';
	}
	L <<= 1;
	manacher(L);
	LL ans = 0;
	for(int i = 0; i < L; i++) c[i] = (c[i] + 1) >> 1;
	for(int i = 0; i < L; i++) {
		ans = (ans + ksm(2, c[i], mox)) % mox;
		ans = ((ans - 1 - (((R[i] + (!(i & 1))) >> 1))) % mox + mox) % mox;
	}
	printf("%lld", ans);
    return 0;
}