NC16619 [NOIP2008]传球游戏

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题目

题目描述

上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。

游戏规则是这样的：n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。

聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了m次以后，又回到小蛮手里。两种传球的方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有3个同学1号、2号、3号，并假设小蛮为1号，球传了3次回到小蛮手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

输入描述

共一行，有两个用空格隔开的整数n，m（ 3 ≤ n ≤ 30，1 ≤ m ≤ 30 ）。

输出描述

共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数。

示例1

输入

3 3

输出

2

备注

40%的数据满足：3 ≤ n ≤ 30，1 ≤ m ≤ 20；

100%的数据满足：3 ≤ n ≤ 30，1 ≤ m ≤ 30。

题解

知识点：线性dp。

如果除去环形，那就是个简单的线性dp。设 \(dp[i][j]\) 为传了 \(i\) 次传到第 \(j\) 个人手上，只需要从 \(dp[i-1][j-1]\) 和 \(dp[i-1][j+1]\) 转移即可。但这里有环形，因此考虑做一个循环下标，转移方程为：

\[dp[i][j] = dp[i-1][(j-1+n)\%n] + dp[i-1][(j+1)\%n]
\]

时间复杂度 \(O(nm)\)

空间复杂度 \(O(nm)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

ll dp[37][37];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        for (int j = 0;j < n;j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][(j - 1 + n) % n] + dp[i - 1][(j + 1) % n];
        }
    }
    cout << dp[m][0] << '\n';
    return 0;
}