[ABC138F] Coincidence

2023-02-03

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难度&重要性(1~10):6

题目来源

AtCoder

题目算法

数位dp

解题思路

\(1.\) 当 \(2x\leq y\)，有\(y-x>y\% x\)；

\(2.\) 当 \(2x>y\)，有\(y-x=y\% x\)。

\(3.\) \(y\oplus x\geq y-x\)。

于是：

\(2x\leq y\) 时，不存在 \(y\oplus x=y\% x\)。

所以 \(2x>y\)，即 \(x\) 和 \(y\) 的位数相同，最高位同时为 \(1\)。

那么问题就转化成，求 \(y-x=y\oplus x\) 的 \((x,y)\) 的对数。

满足 \(y-x=y\oplus x\)，那么 \(y\) 二进制下为 \(1\)，\(x\) 为 \(0\) 或 \(1\)，\(y\) 二进制下为 \(0\)，\(x\) 必为 \(0\)。

考虑数位 \(dp\)，这种类型的数位 \(dp\) 不像常规的数位 \(dp\) ，用 \(0\sim r\) 的答案减去 \(0\sim l-1\) 的答案。

我们考虑枚举哪一位为最高位，然后 \(dp_{i,x1,x2}\)表示前 \(i\) 位，数的大小有没有达到下界 \(L\)，有没有达到上界 \(R\) 的方案数，转移时先枚举 \(y\)，再枚举 \(x\)。

完成状态

已完成