CF1817C Similar Polynomials

简要题意

给定两个次数为 \(d\) 的多项式 \(A, B\) 在 \(0, 1, 2, \dots, d\) 处的点值对 \(10^9+7\) 取模，保证 \(B(x) \equiv A(x+s) \pmod {10^9+7}\)。求 \(s \bmod 10^9+7\)。

数据范围：\(1\le d\le 2.5\times10^6\)。

题解

实在是非常简单的题，考场上没过，怎么会逝呢？其实就是没反应过来差分可以快速求。

多项式平移套上差分、求导、exp……依然是同样的平移。考虑降低多项式次数，求 \(A, B\) 的 \(d - 1\) 阶差分，得到两个一次函数，则很容易得到 \(s\)。

\[\Delta^k F(x) = \sum\limits_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(-1)^{k-i}F(x+i)
\]

证明考虑算路径贡献。