Loj10086 Easy SSSP

试题描述

输入数据给出一个有 N 个节点，M 条边的带权有向图。要求你写一个程序，判断这个有向图中是否存在负权回路。如果从一个点沿着某条路径出发，又回到了自己，而且所经过的边上的权和小于 0，就说这条路是一个负权回路。
如果存在负权回路，只输出一行 −1；如果不存在负权回路，再求出一个点S到每个点的最短路的长度。约定：S 到 S 的距离为
0，如果 S 与这个点不连通，则输出 NoPath。

输入

第一行三个正整数，分别为点数 N，边数 M，源点 S；
以下 M 行，每行三个整数 a,b,c，表示点 a,b之间连有一条边，权值为 c。

输出

如果存在负权环，只输出一行 −1，否则按以下格式输出：共 N 行，第 i 行描述 S 点到点 i 的最短路
如果 S 与 i 不连通，输出 NoPath；
如果 i=S，输出 0。
其他情况输出 S 到 i 的最短路的长度。

输入示例

6 8 1
1 3 4
1 2 6
3 4 -7
6 4 2
2 4 5
3 6 3
4 5 1
3 5 4

输出示例

0
6
4
-3
-2

先用DFS判断负环，然后跑最短路即可。

DFS具体判断负环的方法是：记录一个vis数组，表示在你这次搜索过程中有没有走到这个点，如果在搜索的时候，发现这个目标点vis==1了，并且你还可以更新这个目标点的dis，那么就存在负环。因为这就相当于你跑完一圈，dis又少了，那么这个环肯定是负的。

这里有一个优化：是大佬YSF、SYF和我们清华毕业的数学老师姚璐提出并证明的。一般判断负环时，我们会把dis初始值赋成INF，但是实际上，我们可以赋0。相当于DFS跑最短路的时候，遇到正边就不跑了，这样会节省很大的时间复杂度。那么怎么证明正确性呢？

首先，我们需要证明一点，对于一个负环，一定有一个点，从这个点到第起始点的所有边权都为负，因为如果有正的，dis为0的情况可能会被正的卡住。那么又怎么证明这个呢？

我们可以画一个函数图像，x坐标表示负环上的每个点，y表示到x点时经过的边权。画出来后，你会发现，一定有一个峰值，然后对于这个峰值建系，它右侧的值全都是负的了。

具体代码如下（注意我的dis赋成0也可以AC，也是一个上面说法的验证）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
#define REP(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define in(a) a=read()
using namespace std;
inline int read(){
    int x=,f=;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        x=x*+ch-'';
   return x*f;
}
int T;
int flag=;
int n,m,s;
int total=,nxt[],head[],to[],val[];
int vis[],dis[],book[];
int q[];
inline void adl(int a,int b,int c){
    total++;
    to[total]=b;
    val[total]=c;
    nxt[total]=head[a];
    head[a]=total;
    return ;
}
queue <int> Q;
inline void dfs(int u){
    book[u]=;
    for(int e=head[u];e;e=nxt[e]){
        if(dis[to[e]]>dis[u]+val[e]){
            dis[to[e]]=dis[u]+val[e];
            if(vis[to[e]]){
                flag=;
                return ;
            }
            if(flag)
                return ;
            vis[to[e]]=;
            dfs(to[e]);
            vis[to[e]]=;
        }
    }
    return ;
}
void SPFA(int st){
    memset(vis,,sizeof(vis));
    memset(dis,,sizeof(dis));
    int hea=,tail=;
    //q[hea]=st;
    Q.push(st);
    dis[st]=;
    while(!Q.empty()/*tail>=hea*/){
        int u=Q.front();
        //hea++;
        Q.pop();
        vis[u]=;
        for(int e=head[u];e;e=nxt[e])
            if(dis[to[e]]>dis[u]+val[e]){
                dis[to[e]]=dis[u]+val[e];
                if(!vis[to[e]]){
                    vis[to[e]]=;
                    Q.push(to[e]);
                }
            }
    }
    return ;
}
int main()
{
    total=flag=;
    //memset(dis,127,sizeof(dis));
    in(n);in(m);in(s);
    int a,b,c;
    REP(i,,m){
        in(a);in(b);in(c);
        adl(a,b,c);
    }
    REP(i,,n)
        if(!book[i]){
            memset(vis,,sizeof(vis));
                 dfs(i);
                 if(flag)  break;
             }
    if(flag){
        cout<<-<<endl;
        return ;
    }
    SPFA(s);
        REP(i,,n)
            if(dis[i]>)
                cout<<"NoPath"<<endl;
            else  cout<<dis[i]<<endl;
}