Luogu_2279_[HNOI2003]消防局的设立

题目描述

2020年，人类在火星上建立了一个庞大的基地群，总共有n个基地。起初为了节约材料，人类只修建了n-1条道路来连接这些基地，并且每两个基地都能够通过道路到达，所以所有的基地形成了一个巨大的树状结构。如果基地A到基地B至少要经过d条道路的话，我们称基地A到基地B的距离为d。

由于火星上非常干燥，经常引发火灾，人类决定在火星上修建若干个消防局。消防局只能修建在基地里，每个消防局有能力扑灭与它距离不超过2的基地的火灾。

你的任务是计算至少要修建多少个消防局才能够确保火星上所有的基地在发生火灾时，消防队有能力及时扑灭火灾。

输入输出格式

输入格式

输入文件名为input.txt。

输入文件的第一行为n （n<=1000），表示火星上基地的数目。接下来的n-1行每行有一个正整数，其中文件第i行的正整数为a[i]，表示从编号为i的基地到编号为a[i]的基地之间有一条道路，为了更加简洁的描述树状结构的基地群，有a[i]<i。

输出格式

输出文件名为output.txt

输出文件仅有一个正整数，表示至少要设立多少个消防局才有能力及时扑灭任何基地发生的火灾。

样例

INPUT

6

1

2

3

4

5

OUTPUT

HINT

SOLUTION

贪心

这题显然可以用树形dp。。但是这里我们不用。

这里这种涉及最少点全图覆盖的问题，我们经常会在二分答案题中碰到，但是，那种覆盖又以线性的模型居多，这里的树形模型的覆盖思路很有普适性。

既然是要全图覆盖，而我们知道树形结构是由根向下发散的，所以保证全图覆盖的话，从叶子往根上贪心看起来就比从根往下贪心更优。

因为一个消防站的覆盖范围是$2$，所以我们只要考虑它的直接父亲$u$和它直接父亲的直接父亲$ast$的情况就好了。

如果它的$u$或者$ast$被设了一个消防站，那么显然地，这个点不用考虑再设消防站了。

反之，则在能保证该点被覆盖的最远处，也就是本题中的$ast$，设立一个消防站。并且通过设立这个消防站，我们中间路径再加上$ast$的往上两代祖先的点的$dist$值（即距离最近消防站的距离）可能被更新。

这就是这个贪心的全过程了。其实也不怎么难。原先在写线性的贪心判定的时候就写过类似的，但是这个树形的思路很清晰，更新部分值得学习。

而且这题可以扩展为覆盖范围为$K$的问题，时间复杂度为$O(n\times K)$，简单实用的一种方法。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define Min(a,b) ((a<b)?a:b)

const int N=1010;

int n,fa[N],dpt[N],dist[N],a[N];

bool cmp(int x,int y) {return dpt[x]>dpt[y];}

int main(){

	int i,j;

	scanf("%d",&n);dpt[1]=1;fa[1]=1;a[1]=1;

	for (i=2;i<=n;++i) {scanf("%d",&fa[i]);a[i]=i;dpt[i]=dpt[fa[i]]+1;}

	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));

	sort(a+1,a+1+n,cmp);

	int ans=0;

	for (i=1;i<=n;++i){

		int v=a[i],u=fa[a[i]],ast=fa[u];

		dist[v]=Min(dist[v],Min(dist[u]+1,dist[ast]+2));

		if (dist[v]>2){

			dist[ast]=0;ans++;

			dist[fa[ast]]=Min(dist[fa[ast]],1);dist[fa[fa[ast]]]=Min(dist[fa[fa[ast]]],2);

		}

	}

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}