图的存储有邻接矩阵,那么他就具备一些矩阵的性质,设有一个图的demo[100][100];那么demo[M][N]就是M—>N的距离,若经过一次松弛操作demo[M][N]=demo[M][K]+demo[K][N],即为demo[M][N]经过了两条条边的最小距离,floyd是 demo[M][N]=Min(demo[M][K]+demo[K][N],demo[M][N]),有可能两点之间直接距离最短,不经过第三边,那我们不考虑不经过两点之间的情况,那么demo[M][N]等于  demo[M][K]+demo[K][N] 枚举K的最小值,于是出现了一类问题,叫做两点之间经过N条边的最短距离,那么类比矩阵乘法,矩阵乘法是求和,我们在这里是求最小值,那么可以改造矩阵乘法得出,不是Floyd,K放在外面和里面没有区别,放外面像是Floyd,放里面就是标准的矩阵乘法,因为这个只用一次,所有对于枚举的状态是等价的。

     for(int k=; k<=cnt; k++)
{
for(int i=; i<=cnt; i++)
{
for(int j=; j<=cnt; j++)
{
c[i][j]=Min(a[i][k]+b[k][j],c[i][j]);
}
}
}

每做一次类矩阵乘法,就代表将M,N松弛后多一条经过边,那么经过T次松弛后就会得到N,M经过T条边的最短距离,既然是类矩阵乘法,是不是遵循结合律呢?答案是的。对于矩阵,前面是经过T条边的最小值,后边是经过W条边的最小值,想乘代表经过了T+W条边的最小值,因为每进行一次都是插入一个点,即使点重复,那么他也会有环形出现,但还是经过了T+W条边,如此,我们可以利用矩阵快速幂求解其经过N条边之后的最小值,那么我们会发现矩阵跟图的是密不可分,一定还会有其他的特点去等待发现,它还可以用于求解图的生成树问题,下次更新。

本思想可以解决POJ3613,好像现在题没了,给一个网站https://www.acwing.com/problem/content/347/,代码附在下方。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define Swap(a,b) a^=b^=a^=b
#define cini(n) scanf("%d",&n)
#define cinl(n) scanf("%lld",&n)
#define cinc(n) scanf("%c",&n)
#define cins(s) scanf("%s",s)
#define coui(n) printf("%d",n)
#define couc(n) printf("%c",n)
#define coul(n) printf("%lld",n)
#define speed ios_base::sync_with_stdio(0)
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define Min(a,b) a<b?a:b
#define mem(n,x) memset(n,x,sizeof(n))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 100010
#define esp 1e-9
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
const int N=;
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
int a[N][N],temp[N][N],ans[N][N];
int used[*N];
int p[*N];
void floyed(int a[][N],int b[][N],int c[][N],int cnt)
{
for(int k=; k<=cnt; k++)
{
for(int i=; i<=cnt; i++)
{
for(int j=; j<=cnt; j++)
{
c[i][j]=Min(a[i][k]+b[k][j],c[i][j]);
}
}
}
}
void copy(int n,int a[][N],int b[][N])
{
for(int i=; i<=n; i++)
for(int j=; j<=n; j++)
a[i][j]=b[i][j],b[i][j]=INF;
}
int solve(int s,int t,int n,int cnt)
{ while(n)
{
if(n&)
{
floyed(ans,a,temp,cnt);
copy(cnt,ans,temp);
}
floyed(a,a,temp,cnt);
copy(cnt,a,temp);
n>>=;
}
return ans[s][t];
}
int main()
{
int n,t,S,E;
scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&S,&E);
int u,v,w;
int cnt=;
mem(ans,0x3f);
mem(temp,0x3f);
mem(a,0x3f);
for(int i=; i<t; i++)
{
scanf("%d%d%d",&w,&u,&v);
if(!used[u])
{
used[u]=;
p[u]=++cnt;
a[cnt][cnt]=temp[cnt][cnt]=ans[cnt][cnt]=;
}
if(!used[v])
{
used[v]=;
p[v]=++cnt;
a[cnt][cnt]=temp[cnt][cnt]=ans[cnt][cnt]=;
}
a[p[u]][p[v]]=a[p[v]][p[u]]=w;
}
printf("%d\n",solve(p[S],p[E],n,cnt));
return ;
}

这个题的边不连续,要先离散化。

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