luogu2714 四元组统计 莫比乌斯反演 组合数

题目大意

给出一段序列，求其中最大公约数为1的四元组的个数。

思路

我们要用到反演、正难则反的思想。对于每一个大于1的数字\(x\)，求出最大公约数为\(x\)的四元组的个数\(g(x)\)，然后用排列中所有四元组的组合个数减去\(\sum g(x)\)即可。

直接求\(g(x)\)没有什么思路，但是求公约数中存在\(x\)的四元组的个数\(f(x)\)会比较容易。枚举约数中存在x的数列元素的个数\(n\)，则有

\[f(x)=C_n^4
\]

那么怎么把\(f(x)\)变为\(g(x)\)呢？这要用到莫比乌斯反演。

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

\[\mu(x)=
\begin{cases}
1 &\text{若$x$=1}\\
0 &\text{若对$x$质因数分解得到的每个质数的次数中存在大于1的}\\
(-1)^k &\text{$k$为$x$的质因数个数}
\end{cases}
\]

莫比乌斯反演公式

若

\[f(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{N}{x}\rfloor}g(kx)\tag{1}
\]

则

\[g(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{N}{x}\rfloor}f(kx)\mu(k)
\]

我们发现这道题若把序列中的数字最大值作为\(N\),\(f(x),g(x)\)恰好满足该关系(1)。于是我们跟着公式求\(g(x)\)即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long

const int MAX_N = 10010, MAX_R = 5, MAX_PRIME_CNT = MAX_N;
ll C[MAX_N][MAX_R];
int Num[MAX_N], Mu[MAX_N];
ll F[MAX_N];

void GetMu(int *mu, int n)
{
	static bool NotPrime[MAX_N];
	static int prime[MAX_PRIME_CNT];
	memset(NotPrime, false, sizeof(NotPrime));
	int primeCnt = 0;
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!NotPrime[i])
		{
			prime[primeCnt++] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for (int j = 0; j < primeCnt; j++)
		{
			if (i*prime[j] > n)
				break;
			NotPrime[i*prime[j]] = true;
			if (i%prime[j] == 0)
			{
				mu[i*prime[j]] = 0;
				break;
			}
			else
				mu[i*prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

void GetC(int r, int n)
{
	memset(C, 0, sizeof(C));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		C[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= min(i, r); j++)
		{
			if (i == j)
				C[i][j] = 1;
			else
				C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
		}
	}
}

ll Proceed(int maxN, int n)
{
	memset(F, 0, sizeof(F));
	for (int i = 2; i <= maxN; i++)
	{
		int cnt = 0;
		for (int j = 1; j <= maxN / i; j++)
			cnt += Num[i * j];
		F[i] = C[cnt][4];
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 2; i <= maxN; i++)
		for (int j = 1; j <= maxN / i; j++)
			ans += F[i * j] * Mu[j];
	return C[n][4] - ans;
}

int main()
{
	GetMu(Mu, 10000);
	GetC(4, 10000);
	int n, maxN = 0, x;
	while (~scanf("%d", &n))
	{
		memset(Num, 0, sizeof(Num));
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf("%d", &x);
			Num[x]++;
			maxN = max(maxN, x);
		}
		printf("%lld\n", Proceed(maxN, n));
	}
	return 0;
}