complementary error function

首先正态分布的概率密度函数为：

P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826,  P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544,  P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974

由于“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的，基本上可以把区间（μ-3σ，μ+3σ）看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。

f(x)关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

我们有：

The Error function

the error function equals twice the integral of a normalized gaussian function between 0 and x/sÖ2:

The relation between the normalized gaussion distribution and the error function equals:

A series approximation for small value of x of this function is given by:

while an approximate expression for large values of x can be obtained from:

The Complementary Error function

The complementary error function equals one minus the error function yielding:

which, combined with the series expansion of the error function listed above, provides approximate expressions for small and large values of x: