[BZOJ2244]:拦截导弹（DP+CDQ分治+树状数组）

题目传送门

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题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度、并且能够拦截任意速度的导弹，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度，其拦截的导弹的飞行速度也不能大于前一发。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
在不能拦截所有的导弹的情况下，我们当然要选择使国家损失最小、也就是拦截导弹的数量最多的方案。但是拦截导弹数量的最多的方案有可能有多个，如果有多个最优方案，那么我们会随机选取一个作为最终的拦截导弹行动蓝图。
我方间谍已经获取了所有敌军导弹的高度和速度，你的任务是计算出在执行上述决策时，每枚导弹被拦截掉的概率。

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输入格式

第一行包含一个正整数$n$，表示敌军导弹数量；
下面行按顺序给出了敌军所有导弹信息：
第$i+1$行包含$2$个正整数$h_i$和$v_i$，分别表示第$i$枚导弹的高度和速度。

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输出格式

输出包含两行。
第一行为一个正整数，表示最多能拦截掉的导弹数量；
第二行包含$n$个$0$到$1$之间的实数，第$i$个数字表示第$i$枚导弹被拦截掉的概率（你可以保留任意多位有效数字）。

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样例

样例输入

4
3 30
4 40
6 60
3 30

样例输出

2
0.33333 0.33333 0.33333 1.00000

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数据范围与提示

对于$100%$的数据，$1\leqslant n\leqslant 5\times 10^4$，$1\leqslant h_i$ ，$v_i\leqslant 10^9$；
均匀分布着约$30%$的数据，所有$v_i$均相等。
均匀分布着约$50%$的数据，满足$1\leqslant h_i,v_i\leqslant 1,000$。

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题解

这道题就是求一个三维的最长非上升子序列的长度（$LDS$），肯定要用$CDQ$分治啦～

利用中序遍历的思想来进行$CDQ$分治，先处理左区间，再处理当前节点的值，最后处理右区间。

设$f_{1_i}$表示正序时$LDS$的长度，$g_{1_i}$表示个数，$f_{2_i}$和$g_{2_i}$则是逆序。

处理跟$CDQ$分治一样。

下面来讲一下如何统计答案：

　　第一问的答案就是$\max(f_{1_i})$。

　　第二问稍繁琐，考虑只有当$f_{1_i}+f_{2_i}-1=\max(f_{1_i})$时（减去重复计算的节点$i$），给节点才能成为$LDS$上的点，总方案数即为$g_{1_i}\times g_{2_i}$，答案即为$\frac{g_{1_i}\times g_{2_i}}{\sum \limits_{i=1}^{n}g_{1_i}(f_{1_i}=\max)}$。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
	int d;
	int h;
	int v;
	pair<pair<int,double>,pair<int,double> >dp;
}e[50001];
int n;
int flag[50001],hmax,vmax;
int trmax[200001];
int ans;
double sum;
pair<int,double> tr[200000];//树状数组
bool cmpd(rec a,rec b){return a.d<b.d;}
bool cmph1(rec a,rec b){return a.h>b.h;}
bool cmph2(rec a,rec b){return a.h<b.h;}
bool cmpv(rec a,rec b){return a.v<b.v;}
int lowbit(int x){return x&-x;}
void mem(int x)//清空
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		tr[i]=make_pair(0,0.0);
}
void add(int x,int l,double r)//插入
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		if(tr[i].first<l)tr[i]=make_pair(l,r);
		else if(tr[i].first==l)tr[i].second+=r;
}
pair<int,double> ask(int x)//查询
{
	pair<int,double> res;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		if(tr[i].first>res.first)res=tr[i];
		else if(tr[i].first==res.first)res.second+=tr[i].second;
	return res;
}
void cdq1(int l,int r)//正序CDQ
{
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq1(l,mid);
	sort(e+l,e+mid+1,cmph1);
	sort(e+mid+1,e+r+1,cmph1);
	int i=mid+1,j=l;
	for(;i<=r;i++)
	{
		while(j<=mid&&e[i].h<=e[j].h){add(vmax-e[j].v,e[j].dp.first.first,e[j].dp.first.second);j++;}
		pair<int,double> frec=ask(vmax-e[i].v);
		if(e[i].dp.first.first<=frec.first)
		{
			e[i].dp.first.first=frec.first+1;
			e[i].dp.first.second=frec.second;
		}
		else if(e[i].dp.first.first==frec.first+1)e[i].dp.first.second+=frec.second;
	}j--;
	for(;j>=l;j--)mem(vmax-e[j].v);
	sort(e+l,e+r+1,cmpd);
	cdq1(mid+1,r);
}
void cdq2(int l,int r)//逆序CDQ
{
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq2(mid+1,r);
	sort(e+l,e+mid+1,cmph2);
	sort(e+mid+1,e+r+1,cmph2);
	int i=l,j=mid+1;
	for(;i<=mid;i++)
	{
		while(j<=r&&e[i].h>=e[j].h){add(e[j].v,e[j].dp.second.first,e[j].dp.second.second);j++;}
		pair<int,double> frec=ask(e[i].v);
		if(e[i].dp.second.first<=frec.first)
		{
			e[i].dp.second.first=frec.first+1;
			e[i].dp.second.second=frec.second;
		}
		else if(e[i].dp.second.first==frec.first+1)e[i].dp.second.second+=frec.second;
	}j--;
	for(;j>mid;j--)mem(e[j].v);
	sort(e+l,e+r+1,cmpd);
	cdq2(l,mid);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		e[i].d=i;
		scanf("%d%d",&e[i].h,&e[i].v);
		e[i].dp.first.first=e[i].dp.second.first=1;
		e[i].dp.first.second=e[i].dp.second.second=1.0;
	}
	sort(e+1,e+n+1,cmph2);
	for(int i=1;i<=n;i++)//预处理h
	{
		if(e[i].h!=e[i-1].h)flag[0]++;
		flag[i]=flag[0];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		e[i].h=flag[i];
	flag[0]=0;
	sort(e+1,e+n+1,cmpv);
	for(int i=1;i<=n;i++)//预处理v
	{
		if(e[i].v!=e[i-1].v)flag[0]++;
		flag[i]=flag[0];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		e[i].v=flag[i];
	vmax=e[n].v+1;
	sort(e+1,e+n+1,cmpd);
	cdq1(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)//第一问
		ans=max(ans,e[i].dp.first.first);
	cdq2(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(e[i].dp.first.first+e[i].dp.second.first==ans+1)
			sum+=e[i].dp.first.second*e[i].dp.second.second;
	sum/=(double)ans;
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++)//第二问
	{
		if(e[i].dp.first.first+e[i].dp.second.first==ans+1)
			printf("%.7lf ",e[i].dp.first.second*e[i].dp.second.second/sum);
		else printf("0.0000000 ");
	}
	return 0;
}

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