AT2070 Card Game for Three(组合数学)

传送门

解题思路

　　前面的思路还是很好想的，就是要枚举最后一个\(a\)在哪出现算贡献，之后我先想的容斥，结果彻底偏了。。后来调了很久发现自己傻逼了，似乎不能容斥，终于走上正轨23333。首先可以写出一个\(O(n^2)\)的玩意，就是

\[ans=\sum\limits_{i=n}^{sum}C(n-1,i-1)*3^{sum-i}*\sum\limits_{j=max(0,i-n-m)}^{min(k,i-n)}C(i-n,j)
\]

　　这个式子就是枚举\(a\)的最后一个位置\(i\)，然后从前面的\(n-1\)里选\(i-1\)个\(a\)，再从剩下的里面选出\(j\)个\(c\)，而\(j\)还要满足不能使\(b\)超过\(m\)，不能使\(c\)超过\(k\)，最后后面剩下的位置随意放。这样是\(O(n^2)\)的，优化也很简单，就是发现后面的一坨对应杨辉三角同行连续一段，然后每次\(i+1\)时转移到下一行连续一段，这个随便讨论一下即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000005;
const int MOD=1e9+7;

int n,m,k,ans,fac[N],inv[N],sum;

inline int fast_pow(int x,int y){
	int ret=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
		x=1ll*x*x%MOD;
	}
	return ret;
}

inline int C(int x,int y){
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%MOD*inv[x-y]%MOD;
}

signed main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	fac[0]=inv[0]=1; sum=n+m+k;
	for(int i=1;i<=sum;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
	inv[sum]=fast_pow(fac[sum],MOD-2);
	for(int i=sum-1;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%MOD;
//	for(int i=n;i<=sum;i++){
//		int now=0;
//		for(int j=max(i-n-m,1ll*0);j<=min(k,i-n);j++)
//			(now+=C(i-n,j))%=MOD;
//		ans+=now%MOD*C(i-1,n-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD;
//		ans%=MOD;
//	}
//	cout<<ans<<endl; ans=0;
	if(m<k) swap(m,k); int now=1;
	for(int i=n;i<=sum;i++){
		if(k+n>=i) {
			(ans+=1ll*C(i-1,n-1)*fast_pow(3,sum-i)%MOD*now%MOD)%=MOD;
			if(k+n!=i) now=now*2%MOD;
		}
		else if(n+m>=i) {
			now=now*2-C(i-n-1,k);
			now=(now%MOD+MOD)%MOD;
			(ans+=1ll*now*C(i-1,n-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
		}
		else {
			now=now*2-C(i-n-1,k); now=(now%MOD+MOD)%MOD;
			now=(now-C(i-n-1,i-n-m-1)+MOD)%MOD;
			(ans+=1ll*now*C(i-1,n-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
		}
	}
//	for(int i=n;i<=sum;i++) {
//		(ans+=1ll*C(i-1,n-1)*fast_pow(2,i-n)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
//		if(i==8) cout<<ans<<endl;
//		if(n+k+1<=i)
//			(ans-=1ll*C(i-1,n-1)*C(i-n,k+1)%MOD*fast_pow(2,i-n-k-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
//		if(i==8) cout<<ans<<endl;
//		if(n+m+1<=i)
//			(ans-=1ll*C(i-1,n-1)*C(i-n,m+1)%MOD*fast_pow(2,i-n-m-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
//		cout<<ans<<endl;
//	}
//	for(int i=n+m;i<sum;i++){
//		(ans-=1ll*now*fast_pow(3,sum-n-m)%MOD)%=MOD;
//		now=1ll*now*i%MOD; now=(now+C(n+m,i-n-m+1))%MOD;
//	}
//	now=1;
//	for(int i=n+k;i<sum;i++){
//		(ans-=1ll*now*fast_pow(3,sum-n-k)%MOD)%=MOD;
//		now=1ll*now*i%MOD; now=(now+C(n+k,i-n-k+1))%MOD;
//	}
	printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}