[洛谷P4172] WC2006 水管局长

问题描述

SC省MY市有着庞大的地下水管网络，嘟嘟是MY市的水管局长（就是管水管的啦），嘟嘟作为水管局长的工作就是：每天供水公司可能要将一定量的水从x处送往y处，嘟嘟需要为供水公司找到一条从A至B的水管的路径，接着通过信息化的控制中心通知路径上的水管进入准备送水状态，等到路径上每一条水管都准备好了，供水公司就可以开始送水了。嘟嘟一次只能处理一项送水任务，等到当前的送水任务完成了，才能处理下一项。

在处理每项送水任务之前，路径上的水管都要进行一系列的准备操作，如清洗、消毒等等。嘟嘟在控制中心一声令下，这些水管的准备操作同时开始，但由于各条管道的长度、内径不同，进行准备操作需要的时间可能不同。供水公司总是希望嘟嘟能找到这样一条送水路径，路径上的所有管道全都准备就绪所需要的时间尽量短。嘟嘟希望你能帮助他完成这样的一个选择路径的系统，以满足供水公司的要求。另外，由于MY市的水管年代久远，一些水管会不时出现故障导致不能使用，你的程序必须考虑到这一点。

不妨将MY市的水管网络看作一幅简单无向图（即没有自环或重边）：水管是图中的边，水管的连接处为图中的结点。

输入格式

输入文件第一行为3个整数：N, M, Q分别表示管道连接处（结点）的数目、目前水管（无向边）的数目，以及你的程序需要处理的任务数目（包括寻找一条满足要求的路径和接受某条水管坏掉的事实）。

以下M行，每行3个整数x, y和t，描述一条对应的水管。x和y表示水管两端结点的编号，t表示准备送水所需要的时间。我们不妨为结点从1至N编号，这样所有的x和y都在范围[1, N]内。

以下Q行，每行描述一项任务。其中第一个整数为k：若k=1则后跟两个整数A和B，表示你需要为供水公司寻找一条满足要求的从A到B的水管路径；若k=2，则后跟两个整数x和y，表示直接连接x和y的水管宣布报废（保证合法，即在此之前直接连接x和y尚未报废的水管一定存在）。

输出格式

按顺序对应输入文件中每一项k=1的任务，你需要输出一个数字和一个回车/换行符。该数字表示：你寻找到的水管路径中所有管道全都完成准备工作所需要的时间（当然要求最短）。

样例输入

4 4 3

1 2 2

2 3 3

3 4 2

1 4 2

1 1 4

2 1 4

1 1 4

样例输出

2

3

数据范围

N ≤ 1000

M ≤ 100000

Q ≤ 100000

测试数据中宣布报废的水管不超过5000条；且任何时候我们考虑的水管网络都是连通的。

解析

分析一下题目中的模型。假设没有删边的操作，那么要维护两点之间路径上的最大值最小，可以用最小生成树来做。但是当加了删边的操作后，最小生成树就变成动态的了。yy一下，这似乎可以用LCT来做。那么就用LCT维护最小生成树的边的最大值。考虑到删边并不好操作(删完后还要重构生成树才能维护)，我们不妨倒过来思考，把最终状态的最小生成树求出，然后把删边操作当做加边，每次加入边\((u,v)\)时，都把(u,v)之间的最大值与加入边的权值做比较，如果最大值大于权值，则删除最大边后加入新边，，否则什么都不做。询问时直接查找即可。

但是，实现起来仍然有困难。因为LCT维护的是点，而这里要求的是边。因此，我们化边为点，将边权变为点权。实现时，可以用map将一条边映射为一个点的编号来实现。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
#define N 1000002
using namespace std;
struct edge{
	int u,v,w;
}e[N];
struct task{
	int op,x,y,id;
}a[N];
int n,m,q,i,son[N][2],fa[N],val[N],dat[N],f[N],s[N],ans[N];
bool r[N],del[N];
map<pair<int,int>,int> id;
bool unroot(int x)
{
	return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
}
void flip(int x)
{
	swap(son[x][0],son[x][1]);
	r[x]^=1;
}
void update(int x)
{
	dat[x]=val[x];
	if(e[dat[son[x][0]]].w>e[dat[x]].w) dat[x]=dat[son[x][0]];
	if(e[dat[son[x][1]]].w>e[dat[x]].w) dat[x]=dat[son[x][1]];
}
void spread(int x)
{
	if(r[x]){
		r[x]=0;
		if(son[x][0]) flip(son[x][0]);
		if(son[x][1]) flip(son[x][1]);
	}
}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],p=(son[y][1]==x),w=son[x][p^1];
	if(unroot(y)) son[z][son[z][1]==y]=x;
	son[x][p^1]=y;son[y][p]=w;
	if(w) fa[w]=y;
	fa[y]=x;fa[x]=z;
	update(y);
}
void splay(int x)
{
	int y=x,z,top=0;
	s[++top]=y;
	while(unroot(y)) s[++top]=y=fa[y];
	while(top) spread(s[top--]);
	while(unroot(x)){
		y=fa[x];z=fa[y];
		if(unroot(y)) rotate((son[y][1]==x)^(son[z][1]==y)?x:y);
		rotate(x);
	}
	update(x);
}
void access(int x)
{
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]){
		splay(x);
		son[x][1]=y;
		update(x);
	}
}
void makeroot(int x)
{
	access(x);splay(x);
	flip(x);
}
int findroot(int x)
{
	access(x);splay(x);
	while(son[x][0]) update(x),x=son[x][0];
	splay(x);
	return x;
}
void split(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	access(y);splay(y);
}
void link(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	if(findroot(y)!=x) fa[x]=y;
}
void cut(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	if(findroot(y)==x&&fa[y]==x&&!son[y][0]){
		fa[y]=son[x][1]=0;
		update(x);
	}
}
int my_comp(const edge &x,const edge &y)
{
	return x.w<y.w;
}
int find(int x)
{
	if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
	return f[x];
}
void Kruscal()
{
	int cnt=n;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
	    if(cnt==1) break;
		if(!del[i]){
			int f1=find(e[i].u),f2=find(e[i].v);
			if(f1!=f2){
				f[f1]=f2;
				link(e[i].u,i+n);link(e[i].v,i+n);
				cnt--;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>q;
	for(i=1;i<=m;i++){
		cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
		if(e[i].u>e[i].v) swap(e[i].u,e[i].v);
	}
	sort(e+1,e+m+1,my_comp);
	for(i=1;i<=m;i++) id[make_pair(e[i].u,e[i].v)]=i;
	for(i=1;i<=q;i++){
		cin>>a[i].op>>a[i].x>>a[i].y;
		if(a[i].x>a[i].y) swap(a[i].x,a[i].y);
		if(a[i].op==2){
			int tmp=id[make_pair(a[i].x,a[i].y)];
			a[i].id=tmp;
			del[tmp]=1;
		}
	}
	for(i=1;i<=n+m;i++){
		if(i>n) val[i]=dat[i]=i-n;
	}
	Kruscal();
	for(i=q;i>=1;i--){
		if(a[i].op==1){
			split(a[i].x,a[i].y);
			ans[i]=e[dat[a[i].y]].w;
		}
		else{
			split(a[i].x,a[i].y);
			int id=a[i].id,tmp=dat[a[i].y];
			if(e[id].w<e[tmp].w){
				cut(e[tmp].u,tmp+n);cut(e[tmp].v,tmp+n);
				link(a[i].x,id+n);link(a[i].y,id+n);
			}
		}
	}
	for(i=1;i<=q;i++){
		if(a[i].op==1) cout<<ans[i]<<endl;
	}
	return 0;
}