[网络流 24 题] luoguP4016 负载平衡问题

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题目描述

有成环状的 nnn 堆纸牌，现将一张纸牌移动到其邻堆称为一次操作。求使得所有堆纸牌数相等的最少移动次数。

Solution 4016\text{Solution 4016}Solution 4016

细心的同学已经发现，为什么lz要用纸牌类比呢。

肯定与 均分纸牌 有关嘛。

链状的情况我们已经会了，但是这题是环状的，那该怎么办呢？



今有以下结论：

在本题中，不存在一个最优解，使得所有相邻的牌堆都有移动。

lz在此给出感性的不严谨的证明：

若存在一个最优解，满足所有牌堆都与相邻牌堆有移动。设它们移动的最少牌数为 aaa。

易知，将所有的移动数量都减去 aaa 以后得到的状态也是合法的。

所以，最优解一定有 a=0a=0a=0，

即：一定存在两相邻牌堆，它们之间没有纸牌移动。Q.E.D..\text{Q.E.D..}Q.E.D..

了解以后，我们就可以枚举断电，尝试破环成链，对于每条链跑均分纸牌，结果取最小值即可。

贴上lz无比丑陋的整合版的代码。

#include <bits/stdc++.h>

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define reg register
//#define abs(x) ((x)>0?x:(-x))

int n, c = 0;
int a[110],b[110];
int ans = 0;
int ave = 0x3f3f3f3f;

void work(){
	int t=b[1];
	for(reg int i=1;i<n;++i)
		b[i]=b[i+1];
	b[n]=t;
}
int calc(){
	ans=0;
	for(reg int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=b[i];
	for (int i = 1; i < n; i++){
		if(a[i]==c) continue;
		if(a[i]<c){
			a[i+1]-=c-a[i];
			ans+=c-a[i];
			a[i]=c;
		}
		else{
			ans+=a[i]-c;
			a[i+1]+=a[i]-c;
			a[i]=c;
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf ("%d", &n);
	for(reg int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&b[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		c += b[i];
	c /= n;
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		work();
		ave=min(ave,calc());
	}
	printf("%d",ave);
}