【PowerOJ1754&网络流24题】负载平衡问题（费用流）

题意：

思路：

【问题分析】

转化为供求平衡问题，用最小费用最大流解决。

【建模方法】

首先求出所有仓库存货量平均值，设第i个仓库的盈余量为A[i]，A[i] = 第i个仓库原有存货量 - 平均存货量。建立二分图，把每个仓库抽象为两个节点Xi和Yi。增设附加源S汇T。

1、如果A[i]>0，从S向Xi连一条容量为A[i]，费用为0的有向边。

2、如果A[i]<0，从Yi向T连一条容量为-A[i]，费用为0的有向边。

3、每个Xi向两个相邻顶点j，从Xi到Xj连接一条容量为无穷大，费用为1的有向边，从Xi到Yj连接一条容量为无穷大，费用为1的有向边。

求最小费用最大流，最小费用流值就是最少搬运量。

【建模分析】

计算出每个仓库的盈余后，可以把问题转化为供求问题。建立供求网络，把二分图X集合中所有节点看做供应节点，Y集合所有节点看做需求节点，在能一次搬运满足供需的Xi和Yj之间连接一条费用为1的

有向边，表示搬运一个单位货物费用为1。另外还要在Xi与相邻的Xj之间连接边，表示货物可以暂时搬运过去，不立即满足需求，费用也为1。最大流满足了所有的盈余和亏损供求平衡，最小费用就是最少

搬运量。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned int uint;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef long double ld;
 typedef pair<int,int> PII;
 typedef pair<ll,ll> Pll;
 typedef vector<int> VI;
 typedef vector<PII> VII;
 typedef pair<ll,ll>P;
 #define N  50000
 #define M  1000000
 #define INF 1e9
 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define pb push_back
 #define pi acos(-1)
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
 #define lowbit(x) x&(-x)
 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
 #define ls p<<1
 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;
       double eps=1e-;
       int dx[]={-,,,};
       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[N],nxt[N],len1[N],len2[N],dis[N],inq[N],a[N],q[N],pre[N][],num[N][],
     s,S,T,ans1,ans2,tot;

 int read()
 {
    int v=,f=;
    char c=getchar();
    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
    return v*f;
 }

 void add(int a,int b,int c,int d)
 {
     nxt[++tot]=head[a];
     vet[tot]=b;
     len1[tot]=c;
     len2[tot]=d;
     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];
     vet[tot]=a;
     len1[tot]=;
     len2[tot]=-d;
     head[b]=tot;
 }

 int spfa()
 {
     rep(i,,s)
     {
         dis[i]=INF;
         inq[i]=;
     }
     int t=,w=;
     q[]=S; dis[S]=; inq[S]=;
     while(t<w)
     {
         t++; int u=q[t%(s+)]; inq[u]=;
         int e=head[u];
         while(e)
         {
             int v=vet[e];
             if(len1[e]&&dis[u]+len2[e]<dis[v])
             {
                 dis[v]=dis[u]+len2[e];
                 pre[v][]=u;
                 pre[v][]=e;
                 if(!inq[v])
                 {
                     w++; q[w%(s+)]=v; inq[v]=;
                 }
             }
             e=nxt[e];
         }
     }
     if(dis[T]==INF) return ;
     return ;
 }

 void mcf()
 {
     int k=T,t=INF;
     while(k!=S)
     {
         int e=pre[k][];
         t=min(t,len1[e]);
         k=pre[k][];
     }
     ans1+=t;
     k=T;
     while(k!=S)
     {
         int e=pre[k][];
         len1[e]-=t;
         len1[e^]+=t;
         ans2+=t*len2[e];
         k=pre[k][];
     }

 }

 int main()
 {
     //freopen("1.in","r",stdin);
     int n=read();
     int sum=;
     rep(i,,n)
     {
         a[i]=read();
         sum+=a[i];
     }
     s=;
     rep(i,,n)
      rep(j,,) num[i][j]=++s;
     int avg=sum/n;
     S=++s,T=++s;
     rep(i,,s) head[i]=;
     tot=;
     rep(i,,n)
     {
         if(a[i]>avg) add(S,num[i][],a[i]-avg,);
         if(a[i]<avg) add(num[i][],T,avg-a[i],);
     }
     rep(i,,n)
     {
         int x=i-;
         if(x==) x=n;
         add(num[i][],num[x][],INF,);
         add(num[i][],num[x][],INF,);
         x=i+;
         if(x==n+) x=;
         add(num[i][],num[x][],INF,);
         add(num[i][],num[x][],INF,);
     }
     ans1=ans2=;
     while(spfa()) mcf();
     printf("%d\n",ans2);
     return ;

 }