【hdu多校联考第二场】Odd Shops

Description

　　这道题的题意是这道难读，大概就是给你n个商店，每个商店的重量为i的商品用ai表示，对于任意商店的a数列都是相同的，重量的范围为[1,10]

　　求购买方案总数为奇数的重量一共有多少种，答案取膜998244353

Input Format

　　多组数据，每组数据第一行一个整数n表示一共有n个商店，第二行10个整数表示数列a

Output Format

　　对于每组数据输出一行表示答案

Sample Input

　　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

　　1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

　　100

　　1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Sample Output

Solution

打算学习一下god们的题解风格

这道题目，首先答案显然为${(1 + \sum\limits_{i = 1}^{10} {{a_i}*{x^i}} )^n}$中系数为奇数的项有几个

那么我们只要对该式进行处理就行了

首先我们设关注到题目要求统计的是系数为奇数，那么相当于在mod 2意义下进行运算

我们现在来考虑一个子问题，$f{\left( n \right)^{2k}}*g\left( n \right)$中有几个系数为奇数

对于该式，我们意识到前一个式子是${(f{\left( n \right)^k})^2}$因为是平方，所以打开之后两项相乘的系数就会消掉

例如${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab$最后一项对答案显然没有贡献，也就是说平方后我们关心的只是一个与原串相同的串

对于g(n)，我们将其拆分成g(n)=o(n)+e(n)，o(n)为g(n)中奇数次方的项，e(n)为g(n)中偶数次方的项，由于${(f{\left( n \right)^k})^2}$只剩下平方项，所以o(n)与e(n)对答案的贡献是独立的

那么最后一步就是递归拆分后递归求解这个问题，顺便加个map瞎记忆化一下就过了

为什么我们要进行这个拆分呢？

我们可以很快发现这样拆分之后递归求解的时候o(n)和e(n)的项数就可以从20降为10，这样就可以将一个${10^{10}}$项的多项式希望得到的结果，只用10位的二进制数得到答案

题解是这么想，代码也确实是这么打，但是这个代码还是比较巧妙的（我本来以为要fft的，后来看了标程才明白，确实我觉得不用开ll，大家可以尝试一下）

代码啦~~~

#include<cstdio>

#include<map>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

map<pair<ll,ll>,ll> mp;

ll mo=,x;

ll mul(ll a,ll b){

    ll ret=;

    while (b){

        ret^=a*(b&(-b)),b-=b&(-b);

    }

    return ret;

}

ll f(ll n,ll g){

    if (mp.count(make_pair(n,g)))return mp[make_pair(n,g)];

    ll &ret=mp[make_pair(n,g)];

    if (!n)return ret=__builtin_popcountll(g)%mo;

    if ((n&))g=mul(g,x);ll a=,b=;

    for (int i=;i<=;i++)if ((g&(<<i))){

        if ((i&))a|=(<<(i>>));

        else b|=(<<(i>>));

    }

    return ret=(f(n>>,a)+f(n>>,b))%mo;

}

int a[],n;

int main(){

    while (~scanf("%d",&n)){

        mp.clear();

        x=;

        for (int i=;i<=;i++){

            scanf("%d",&a[i]);

            if ((a[i]&))x|=(<<i);

        }

        ll ans=f(n,);

        printf("%d\n",ans);

    }

}