CodeForces 1103C. Johnny Solving

题目简述：给定简单（无自环、无重边）连通无向图$G = (V, E), 1 \leq n = |V| \leq 2.5 \times 10^5, 1 \leq m = |E| \leq 5 \times 10^5$，保证任意节点的度数$\geq 3$。给定参数$1 \leq k \leq n$，要求完成以下任务之一：

1. 找到一条包含至少$\frac n k$个节点的简单路径。

2. 找到$k$个简单环，使得

2.1. 每个环包含少于$\frac n k$个节点，且包含的节点个数不得被$3$整除；

2.2. 每个环都存在一个代表节点，这个节点不在其他环中出现。

解：code

考虑图$G$的DFS树$T$。

1. 若$T$中存在深度$\geq \frac n k$的节点（根节点深度为$1$），则找到了一条包含至少$\frac n k$个节点的简单路径，完成任务1。

2. 不然（即，树$T$的深度$< \frac n k$），$T$存在至少$k$个叶节点（设$T$有$x$个叶节点，则

$$n = |V| \leq \sum_{v \text{ is a leaf of } T} \text{depth}(v) < x \frac n k, $$

从而$x > k$）。我们可以通过其中$k$个叶节点构造$k$个满足条件的简单环。

设$v \in V$为$T$的某个叶节点，注意到$v$在$G$中的度数$\geq 3$，故存在两个不同的节点$x, y \in V$，他们都不是$v$的父节点且$(v, x), (v, y) \in E$。则$x$和$y$均是$v$在$T$中的祖先（DFS树的性质）。不妨设$\text{depth}(x) > \text{depth}(y)$。

考虑以下三个环：

a) $v, \text{father}(v), \dots, x$，长度为$l_a = \text{depth}(v)-\text{depth}(x)+1$；

b) $v, \text{father}(v), \dots, y$，长度为$l_b = \text{depth}(v)-\text{depth}(y)+1$；

c) $v, x, \text{father}(x), \dots, y$，长度为$l_c = \text{depth}(x)-\text{depth}(y)+2$。

这三个环的长度均$ < \frac n k$，且不可均为3的倍数（设环a和环b长度均为3的倍数，则环c的长度$ l_c = l_b-l_a+2 \equiv 2 \pmod 3 $不为3的倍数）。完成任务2。