【LOJ】#2567. 「APIO2016」划艇

题解

显然有个很暴力的dp，\(dp[i][j]\)表示选到第\(i\)个数，末尾的数是\(j\)的方案数

但是第二维就开不下了，怎么办呢

考虑离散化整个区间，我们记录\(dp[i][j][k]\)表示选到第\(i\)个点，选到第\(j\)个区间，这个区间选了\(k\)个数

转移的时候记录一个\(sum[j][k]\)表示\(i - 1\)之前的所有第二维等于\(j\)，第三维等于\(k\)的值

\(dp[i][j][k] = sum[j][k]\)

显然\(dp\)里的数只会被算一次，所以存起来很浪费，可以去掉

然后每次转移到下一种区间的时候乘上一个组合数，表示这个区间选\(k\)个的方案数

转移到下一种区间的时候也用前缀和累加一下，用\(g[j]\)表示前\(i -1\)个数里，第二维小于等于\(j\)的所有\(dp\)的和

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define pdi pair<db,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define eps 1e-8
#define mo 974711
#define MAXN 505
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
const int MOD = 1000000007;
int N;
int a[MAXN],b[MAXN],C[MAXN * 2][MAXN];
int val[MAXN * 2],sum[MAXN * 2][MAXN],g[MAXN * 2],tot;
int inv[MAXN];
int inc(int a,int b) {
    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}
int mul(int a,int b) {
    return 1LL * a * b % MOD;
}
void update(int &x,int y) {
    x = inc(x,y);
}
void Init() {
    read(N);
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= N ; ++i) inv[i] = mul(inv[MOD % i],MOD - MOD / i);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {read(a[i]);read(b[i]);val[++tot] = a[i] - 1;val[++tot] = b[i];}
    sort(val + 1,val + tot + 1);
    tot = unique(val + 1,val + tot + 1) - val - 1;
    for(int i = 2 ; i <= tot ; ++i) {
	C[i][0] = 1;
	int t = val[i] - val[i - 1];
	for(int j = 1 ; j <= N ; ++j) {
	    C[i][j] = mul(C[i][j - 1],mul(inv[j],t - j + 1));
	}
    }
}
void Solve() {
    int ans = 0;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	int s = 1;
	for(int j = 2 ; j <= tot ; ++j) {
	    int t = s;update(s,g[j]);
	    if(a[i] <= val[j - 1] + 1 && b[i] >= val[j]) {

		for(int k = i - 1 ; k >= 1 ; --k) {
		    update(sum[j][k + 1],sum[j][k]);
		    update(ans,mul(sum[j][k],C[j][k + 1]));
		    update(g[j],mul(sum[j][k],C[j][k + 1]));
		}
		update(ans,mul(t,val[j] - val[j - 1]));
		update(sum[j][1],t);
		update(g[j],mul(t,val[j] - val[j - 1]));
	    }
	}
    }
    out(ans);enter;
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Init();
    Solve();
}