【BZOJ】3456: 城市规划

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456

题意：求n个点的无向连通图的方案。（n<=130000）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=130050, fN=N<<2;
const ll mo=1004535809;
ll G[35], nG[35];
int rev[fN];
ll ipow(ll a, int b) { ll x=1; for(; b; b>>=1, (a*=a)%=mo) if(b&1) (x*=a)%=mo; return x; }
void fft(ll *a, int n, int f) {
	for(int i=0; i<n; ++i) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	int now=-1;
	for(int m=2; m<=n; m<<=1) {
		int mid=m>>1; ++now;
		ll wn=G[now]; if(f) wn=nG[now];
		for(int i=0; i<n; i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j=0; j<mid; ++j) {
				ll u=a[i+j], v=a[i+j+mid]*w%mo;
				a[i+j]=(u+v)%mo;
				a[i+j+mid]=(u-v+mo)%mo;
				(w*=wn)%=mo;
			}
		}
	}
}
ll tmp[fN];
void getinv(ll *A, ll *B, int n) {
	if(n==1) { B[0]=ipow(A[0], mo-2); return; }
	getinv(A, B, (n+1)>>1);
	int len=1, bl=-1, nn=(n<<1)-1;
	for(; len<nn; len<<=1, ++bl);
	for(int i=1; i<len; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(((ll)i&1)<<bl);
	for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=A[i]; for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0;
	fft(tmp, len, 0); fft(B, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) B[i]=B[i]*((2-tmp[i]*B[i]%mo+mo)%mo)%mo;
	fft(B, len, 1); ll nN=ipow(len, mo-2);
	for(int i=0; i<n; ++i) (B[i]*=nN)%=mo; for(int i=n; i<len; ++i) B[i]=0;
}
ll ni[N], p[N], A[fN], B[fN], nA[fN];
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	if(n<=2) { puts("1"); return 0; }

	int len=1, bl=-1, nn=((n+1)<<1)-1;
	for(; len<nn; len<<=1, ++bl);
	G[bl]=ipow(3, (mo-1)/len); nG[bl]=ipow(G[bl], mo-2);
	for(int i=bl-1; i>=0; --i) G[i]=G[i+1]*G[i+1]%mo, nG[i]=nG[i+1]*nG[i+1]%mo;
	ni[1]=1; p[1]=1; p[0]=1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) ni[i]=((-(mo/i)*ni[mo%i])%mo+mo)%mo;
	for(int i=2; i<=n; ++i) p[i]=p[i-1]*ni[i]%mo;
	A[0]=1, B[0]=0;
	ll last=1, C=1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=last*p[i]%mo, B[i]=last*p[i-1]%mo, last=last*((C<<=1)%=mo)%mo;
	getinv(A, nA, n+1);
	for(int i=1; i<len; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(((ll)i&1)<<bl);
	fft(nA, len, 0); fft(B, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) (B[i]*=nA[i])%=mo;
	fft(B, len, 1); ll nN=ipow(len, mo-2);
	for(int i=0; i<=n; ++i) (B[i]*=nN)%=mo;
	ll pp=1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) (pp*=(i-1))%=mo, (B[i]*=pp)%=mo;
	printf("%lld\n", B[n]);
	return 0;
}

　　

理论知识请orz：http://picks.logdown.com/posts/189620-inverse-element-of-polynomial

妈呀多项式除法好多地方我都写跪了555调了好久555

fnt就是用原根来替换单位根，条件是显然的，即：$2^k | (mo-1)$, $2^k>=n$，很容易得到$g^{\frac{mo-1}{m}} \pmod { mo }$可以替换fft中的复数根= =

证明就不证啦= =你可以对着算导证= =（很简单的辣= =。可是

fnt如何求逆？其实也很简单辣= =根是$n^{-1}g^{-\frac{mo-1}{m}}$，这个逆矩阵也是同复数根一样的证法

然后各种乱搞就行辣= =

至于多项式求逆，如果想到倍增也是很显然的...一下就能推出来辣= =（不会的就来问我辣= =qq在右边。。欢迎辣

那么回到本题，容易得到

$$f(n) = 2^{\binom{n}{2}} - \sum_{i=1}^{n-1} 2^{\binom{n-i}{2}} \binom{n-1}{i-1} f(i)$$

意义很显然，所有的图减去不连通的图（这里的技巧太牛了，先取出一个点枚举这个点所在的连通块即$f(i)$，而我们可以选择$\binom{n-1}{i-1}$种点与这个点在一个连通块内，然后剩下的就是随便生成图即$2^{\binom{n-i}{2}}$，乘起来就好辣）

其实这里很不好搞的，我们需要强行化简！

发现$f(i), i<n$都在和式里，而移项后偏偏$f(n)$不在！是不是很不爽！于是去跪picks和jry！发现我们只需要左右都乘上一个$(n-1)!^{-1}$就行辣！就能提$f(n)$进和式辣！即：

$$\sum_{i=0}^{n} 2^{\binom{n-i}{2}} (n-i)!^{-1} (i-1)!^{-1} f(i) = 2^{\binom{n}{2}} (n-1)!^{-1}$$

然后容易发现只要设多项式

$$
\begin{align}
A & = 2^{\binom{i}{2}} i!^{-1} x^i \\
B & = (i-1)!^{-1} f(i) x^i \\
C & = 2^{\binom{i}{2}} (i-1)!^{-1} x^i \\
\end{align}
$$

原式就是$AB=C$辣。（后边是我的错误= =本来就是不能放入$A$的= =感谢zrt神犇指出（在这里，为啥不将$(i-1)!^{-1}$放进$A$是有原因的555，一开始我放到了$A$就一直跪跪跪！因为这样的话$A[0]=0$那么模任何多项式$x^i$都没有关于$A$的逆元！！！妈妈压QAQ！

然后就是$B=CA^{-1}$就是裸的除法辣= =对$A$模一下$x^{n+1}$即可