【BZOJ】2301: [HAOI2011]Problem b

【题意】于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。n,a,b,c,d,k<=50000。

【算法】数论（莫比乌斯反演）

【题解】差分转化为询问有多少数对(x,y)满足x,y互素，1<=x<=n/k，1<=y<=m/k。

令f[x]表示gcd(a,b)=x的数对个数，F[x]表示满足 x | gcd(a,b) 的数对个数，则F[x]=Σ_x|df(d)。

易得F[x]=(n/x)*(m/x)，那么根据莫比乌斯反演定理，f(x)=Σ_x|dμ(d/n)*F(d)=Σ_x|dμ(d/n)*(n/d)*(m/d)。

当x=1时，f(1)=Σμ(d)*(n/d)*(m/d)，d=1~min(n,m)，单次询问复杂度O(n)。

继续优化，n/d至多只有2*√n个取值，只要枚举这些取值后运用μ的前缀和（预处理）快速计算。

具体方法是：当前取值为n/i时，最小为i，最大为pos=n/(n/i)，这m/(m/i)取min即可。

复杂度O(n√n)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=;
int miu[maxn],prime[maxn],tot,s[maxn],n;
bool mark[maxn];
void pre(int n){
    miu[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(!mark[i])miu[i]=-,prime[++tot]=i;
        for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
            mark[i*prime[j]]=;
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            if(i%prime[j]==){miu[i*prime[j]]=;break;}
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++)s[i]=s[i-]+miu[i];
}
ll solve(int n,int m){
    ll ans=;int pos=;
    for(int i=;i<=min(n,m);i=pos+){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=1ll*(s[pos]-s[i-])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    pre();
    for(int i=;i<=n;i++){
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        a--;c--;a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
        printf("%lld\n",solve(b,d)-solve(b,c)-solve(a,d)+solve(a,c));
    }
    return ;
}

尝试从套路的角度来推导ans=Σ_x|dμ(d/n)*(n/d)*(m/d)

★当x=1时，Σ_d|xμ(x)=1。所以gcd(a,b)=1等价于Σ_d|a&&d|bμ(d)。——①

$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k]$$

由(i,j)=k等价于(i/k,j/k)=1可以得到：——②

$$ans=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}[gcd(i,j)=1]$$

下一步代入经典gcd转μ，得到：

$$ans=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d|i\cap d|j}\mu (d)$$

套路化地改为枚举gcd，得到：——③

$$ans=\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}\mu (d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}[d|i\cap d|j]$$

最后部分满足条件的数对都可以除以d，就可以压缩上标直接计算了，即：——④

$$ans=\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}\mu (d)\left \lfloor \frac{n}{kd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{kd} \right \rfloor$$