向量与矩阵的范数及其在matlab中的用法(norm)

一、常数向量范数

• \(L_0\) 范数

\(\Vert x \Vert _0\overset{def}=\)向量中非零元素的个数

其在matlab中的用法：

sum( x(:) ~= 0 )

• \(L_1\) 范数

\(\Vert x \Vert_1\overset{def} = \sum\limits_{i=1}^{m} \vert x_{i}\vert = \vert x_{1}\vert + \cdots +\vert x_{m}\vert\)，即向量元素绝对值之和

其在matlab中的用法：

norm(x, 1)

• \(L_2\) 范数

\(\Vert x \Vert_2=(\vert x_1\vert^2+\cdots+\vert x_m\vert^2)^{1/2}\)，即向量元素绝对值的平方和后开方

其在matlab中的用法：

norm(x, 2)

• \(L_{\infty}\) 范数
• 极大无穷范数

\(\Vert x \Vert_{\infty}= max \{ \vert x_1\vert, \cdots,\vert x_m\vert \}\)，即所有向量元素绝对值中的最大值

其在matlab中的用法：

norm(x, inf)

• 极小无穷范数

\(\Vert x \Vert_{\infty}= min \{ \vert x_1 \vert, \cdots, \vert x_m\vert \}\)，即所有向量元素绝对值中的最小值

其在matlab中的用法：

norm(x, -inf)

二、矩阵范数

诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。

1. 诱导范数

• \(L_1\) 范数（列和范数）

\(\Vert A \Vert_1= \underset{1\leqslant j\leqslant n}{\mathop{\max }}\sum\limits_{i=1}^{m}\{ \vert a_{ij}\vert \}\)，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

其在matlab中的用法：

norm(A,1)

• \(L_2\) 范数

\(\Vert A \Vert_2=\sqrt{\lambda _{i}}\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(A^{T}A\) 的最大特征值。

其在matlab中的用法：

norm(A,2)

• \(L_{\infty}\) 范数（行和范数）

\(\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{1\leqslant i\leqslant m}{\mathop{\max }}\sum\limits_{j=1}^{n}\{\vert a_{ij}\vert\}\)，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值

其在matlab中的用法：

norm(A,inf)

2. "元素形式"范数

• \(L_{0}\) 范数

\(\Vert A \Vert_0\overset{def}=矩阵的非零元素的个数\)

其在matlab中的用法：

sum(sum(A ~= 0))

• \(L_{1}\) 范数

\(\Vert A \Vert_1\overset{def}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert\)，即矩阵中的每个元素绝对值之和

其在matlab中的用法：

sum(sum(abs(A)))

• \(L_{F}\) 范数

\(\Vert A \Vert_F\overset{def}=(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert^2)^{1/2}\)，即矩阵的各个元素平方之和后开方

其在matlab中的用法：

norm(A,'fro')

• \(L_{\infty}\) 范数

\(\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{i=1,\cdots,m;\ j=1,\cdots,n}{\mathop{\max }}\{\vert a_{ij}\vert \}\)，即矩阵的各个元素绝对值的最大值

其在matlab中的用法：

max(max(abs(A)))

• 核范数

\(\Vert A \Vert_{*}= \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i\)，\(\lambda_i\) 为 \(A\) 的奇异值，即所有矩阵奇异值之和

其在matlab中的用法：

sum(svd(A))

本文作者：@qiuhlee

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