火题小战 B. barbeque

题目描述

$Robbery$ 是一个大吃货（雾）

某个神奇的串由牛肉和青椒构成，于是$Robbery$购买了$n$个餐包来自己做这个串，每个餐包中有一些牛肉，青椒和一些特殊的调料（我们认为所有的牛肉和青椒都是一样的，但是调料各不相同）

当拿出所有的餐包后，$Robbery$突然想到一个问题，假如将所有餐包两两组合，将选中的两个餐包中的所有牛肉和青椒串在一起，能够组合出多少串的方法

（请参考图片以理解样例）

输入格式

第一行为整数$n$

接下来$n$行每行两个整数$a_i$和$b$ 表示第$i$个餐包中有$a_i$块牛肉，$b_i$块青椒

输出格式

输出一个整数表示串的总方案数，最终结果对$1e9+7$取模

样例

样例输入

3

1 1

1 1

2 1

样例输出

26

数据范围与提示

对于$30\%$的数据，保证$n \leq 5000$

对于另外$30\%$的数据，保证$n\leq 1e5,a_i,b_i \leq 100$

对于所有数据，保证$2 \leq n \leq 2e5,1 \leq a_i,b_i \leq 2000$

分析

这一道题的暴力是比较好打的，我们两两枚举 $i,j$ ,每次计算 $C_{a[i]+a[j]+b[i]+b[j]}^{a[i]+a[j]}$ 将价值累加即可

我们会发现，暴力的算法总会枚举 $i$ 和 $j$，这样的效率肯定是 $n^2$ 的

于是，我们考虑组合数的几何意义

我们可以把 $C_{n+m}^{n}$ 看成从原点出发，只能向上或者向右走，到达坐标为 $(n,m)$ 的点的方案数

因此上面的式子可以理解到达坐标为 $(a[i]+a[j],b[i]+b[j])$ 的点的方案数

我们将原点和目标点向左下方平移，即同时减去 $(a[i],b[i])$

这样出发点就变成了 $(-a[i],-b[i])$ ，终点就变成了 $(a[j],b[j])$

这样就不用分别枚举 $i$ 和 $j$

此时我们设 $f[i][j]$ 为 $n$ 个点走到 $(i,j)$ 的方案数之和

初始时我们要把 $f[-a[i]][-b[i]]$ 加一

转移时，根据组合数的性质，有 $f[i][j]+=f[i-1][j]+f[i][j-1]$

最后统计答案时，我们要把自己到自己的贡献减去，还要把起点终点互换的情况减去

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=2e3+101;

const int mod=1e9+7;

int n,m,a[maxn*100],b[maxn*100],ny[maxn*4],jc[maxn*4],jcc[maxn*4],f[maxn*2][maxn*2],s=2050;

long long getC(int n,int m){

	return (long long)jc[n]%mod*jcc[n-m]%mod*jcc[m]%mod;

}

int main(){

	scanf("%d",&n);

	ny[1]=1;

	for(int i=2;i<maxn*4;i++){

		ny[i]=(long long)((long long)mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;

	}

	jc[0]=jcc[0]=1;

	for(int i=1;i<maxn*4;i++){

		jc[i]=(long long)jc[i-1]*i%mod;

		jcc[i]=(long long)jcc[i-1]*ny[i]%mod;

	}

	for(int i=1;i<=n;i++){

		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);

		f[s-a[i]][s-b[i]]++;

	}

	for(int i=1;i<2*maxn-5;i++){

		for(int j=1;j<2*maxn-5;j++){

			f[i][j]=(long long)((long long)f[i][j]%mod+(long long)f[i-1][j]%mod+(long long)f[i][j-1]%mod)%mod;

		}

	}

	long long ans=0;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		ans=(ans+(long long)f[s+a[i]][s+b[i]])%mod;

		ans=(ans-getC(2*a[i]+2*b[i],2*a[i]))%mod;

		ans=(ans+mod)%mod;

	}

	printf("%lld\n",(long long)ans*ny[2]%mod);

	return 0;

}