最短Hamilton路径（状压dp）

最短Hamilton路径实际上就是状压dp，而且这是一道作为一个初学状压dp的我应该必做的题目

题目描述

给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（一个不超过10^7的正整数，记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出

一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

样例数据

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

思路讲解

作为一道最基础的状压dp ，我们需要掌握它为什么是这么做的。

我作为一名菜鸡，首先想到的就是朴素做法，可是朴素做法它的时间复杂度不允许我通过这道题目。

那我们分析一下朴素做法，从起点到终点每个点只经过一次且求最短路径，，，嗯，最暴力的话就是我们应该把所有的不同种路径全都枚举出来（这个当然就是全排列啦），然后去比较寻找最短路径。

那么这个复杂度是O（n*n !），因为我们枚举所有情况是O（n！），然后每一种路径求和是O（n）的，所以总复杂度是O（n*n!），这个不难分析。

但是我们想了，这么大的复杂度该怎么办呢？  我们再来想想 ，我们的复杂度之所以大是因为  “  n！  ” ，所以我们试图从这里想想办法。

枚举每一位，所有种方案，，，我们可以用二进制，因为二进制同样可以把一组数表示出来，，所以我们想到了用状压去做。

我们定义f（i，j） i 表示的是当前的二进制数  ， j 表示的是当前所到达的二进制的第j位

在任意时刻，我们还需要知道当前所处的位置，因此我们用f（i ，j ）表示“点被经过的状态” 对应的二进制数位i 且目前处于j时的最短路径。

在任意时刻，有公式f【i，j】=min（i xor （1<<j）  ,    k ）+a（k，j）     a数组表示从k到j的路径大小。

i xor  （1<<j ） 表示的是在上一时刻我们所处位置是的路径和

所以公式的意思就明白了  ，就是上一个时刻的路径和与当前时刻的路径和大小的比较

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n ;
int a[25][25];   // 代表i到j路径花费
int f[1<<22][25];   //利用二进制的思想 ， i表示的是当前的二进制数， j表示的是当前所到达的二进制的第j位
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0 ;i<n;i++){
       for(int j=0 ;j<n;j++){
           scanf("%d",&a[i][j]);
       }
     }

    memset(f,127,sizeof(f));
    f[1][0] = 0 ;
    for(int i=1 ;i<(1<<n);i++){
        for(int j=0 ; j<n ;j++){
            if((i>>j)&1){     //表示的是我们枚举二进制数的时候  ，这个数中第j位是不是已经被选中了，如果没选过，那我们还用它干嘛。最后的结果不就是n-1个数全部选中嘛
                for(int k=0 ;k<n ;k++ ){
                    if((i>>k)&1){
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i^(1<<j)][k]+a[k][j]) ;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
    return 0 ;
}