luogu p2330[SCOI05] 繁忙的都市——瓶颈生成树

P2330 05四川 繁忙的都市

题目描述

城市C是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。城市C的道路是这样分布的：城市中有n个交叉路口，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。这些道路是双向的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值，分值越小表示这个道路越繁忙，越需要进行改造。但是市政府的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的要求：

1．改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。

2．在满足要求1的情况下，改造的道路尽量少。

3．在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。

任务：作为市规划局的你，应当作出最佳的决策，选择那些道路应当被修建。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数n,m表示城市有n个交叉路口，m条道路。接下来m行是对每条道路的描述，u, v, c表示交叉路口u和v之间有道路相连，分值为c。(1≤n≤300，1≤c≤10000)

输出格式：

两个整数s, max，表示你选出了几条道路，分值最大的那条道路的分值是多少。

输入输出样例

输入样例1：

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

输出样例1：

3 6

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1. 最小瓶颈生成树这个概念并不存在于Wikipedia，但这个概念很好，逻辑性很强。
2. 本题就不贴代码了。
3. 再次声明，引用框里说废话只是我的个人习惯，并非真正引用。

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思路一
注意我在题目中高亮的那句话“分值尽量小”，看到这句话就有了一个很简单的思路——二分。
因为题目要求“最小生成树”中的“最大道路”，实际上就是提出了两个条件：

1. 构建一个生成树，即所有结点都必须达到，构成连通图
2. 生成树中的最大边最小

这样，二分的复杂度是O(log c)，生成树的复杂度依用Kruskal还是Prim而定，因此总复杂度不大，可以接受。

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思路二
首先引入瓶颈生成树的概念：

无向图\(G=(V,E)\)中，存在生成树\(G'=(V',E')\)，它的最大边权\(e'_{max}\)比其他所有的\(G\)的生成树\(G''\)的最大边权\(e''_{max}\)都要小。

接着引入两个命题

• 无向图的最小生成树一定是瓶颈生成树。
  正确：证明在上面的链接给出了，这里我们换一种思路证明。
  Kruskal的正确性显然，它把边排序，接下来一定按照边的大小加入到生成树中(1存在小边)，并且不使生成树成环(2不存在环)。
  也就是说，命题如果不成立，那么必然有一条边（不在最小生成树中）使(1)和(2)都满足。所以命题成立。

• 瓶颈生成树一定是最小生成树
  错误：反例见上面的链接里的图。

显然，根据第一个命题，我们只要求这一题的最小生成树就好了。
btw，一般，kruskal相对prim要快一点。

以上