[wikioi]最长严格上升子序列

http://wikioi.com/problem/1576/

经典的动态规划。我写了个o(n^2)的DP方法。

PPT：http://wenku.baidu.com/view/bd290294dd88d0d233d46ac7.html

线型动态规划问题，最典型的特征就是状态都在一条线上，并且位置固定，问题一般都规定只能从前往后取状态，解决的办法是根据前面的状态特征，选取最优状态作为决策进行转移。
设前i个点的最优值，研究前i-1个点与前i个点的最优值，
利用第i个点决策转移，如下图。
状态转移方程一般可写成:
fi(k) = min{ fi-1 or j( k’) + u(i,j) or u(i,i-1) }

#include <iostream>
using namespace std;
int arr[5000+10];
int inc[5000+10];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    // assume n >= 1
    inc[0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int max = 0;
        for (int j = i-1; j >= 0; j--)
        {
            if (arr[i] > arr[j] && inc[j] > max) max = inc[j];
        }
        inc[i] = max + 1;
    }
    cout << inc[n-1];
    return 0;
}

但其实还有个o(nlogn)的方法。因为优化DP有两种方法，一种就是优化状态数，比如棋盘型有时能把四维优化成三维；一种就是优化转移步骤，这里可以把转移步骤的复杂度由n优化成log n。

一种是采用线段树的数据结构，那么从左像右扫，一边扫一边更新区间的最值，然后也查询之前的最值，由于线段树的操作都收log n的，所以最终n*logn

第二种就是采用单调序列的数据结构，其操作如下：

开辟一个栈b，每次取栈顶元素s和读到的元素a做比较，如果a>s，则置为栈顶；如果a<s，则二分查找栈中的比a大的第1个数，并替换。最终栈的大小即为最长递增子序列为长度
考察b栈内每个元素的含义,b[i] 表示所有长度为i的上升子序列中最小的最后一个数.
·举例：原序列为3，4，5，2，4，2
栈为3，4，5，此时读到2，则用2替换3，得到栈中元素为2，4，5，再读4，用4替换5，得到2，4，4，再读2，得到最终栈为2，2，4,最终得到的解是:
长度为1的上升子序列中最小的最后一个数是2 (2)
长度为2的上升子序列中最小的最后一个数是2 (2,2)长度为3的上升子序列中最小的最后一个数是4 (3,4,4)
可知没有长度为4的上升子序列,最长递增子序列长度为3. (3,4,4)

参见：http://www.slyar.com/blog/longest-ordered-subsequence.html

这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。

单调序列这里还有一个简单应用，可以练习一下：http://poj.org/problem?id=2823