BZOJ 3732 Network —— 最小生成树 + 倍增LCA

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3732

Description

给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000)，记为：1…N。 
图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ，第j条边的长度为： d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).

现在有 K个询问 (1 < = K < = 20,000)。 
每个询问的格式是：A B，表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Input

第一行： N, M, K。 
第2..M+1行: 三个正整数：X, Y, and D (1 <= X <=N; 1 <= Y <= N). 表示X与Y之间有一条长度为D的边。 
第M+2..M+K+1行: 每行两个整数A B,表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Output

对每个询问，输出最长的边最小值是多少。

Sample Input

6 6 8
1 2 5
2 3 4
3 4 3
1 4 8
2 5 7
4 6 2
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
5 1
6 2
6 1

Sample Output

5
5
5
4
4
7
4
5

HINT

1 <= N <= 15,000

1 <= M <= 30,000

1 <= d_j <= 1,000,000,000

1 <= K <= 15,000

题解：

由题目可知，此图为连通图

所有路径最长边的最小值，即为最小生成树下路径的最长边。因为在最小生成树下，所有边都是最优的，所以保证了最小值。那自然在最小生成树的路径下，最长边即为所求的边。

步骤：

1.构造最小生成树（无根树）。

2.将最小生成树构造为有根数，并用倍增LCA求出每个节点到第2^i个祖先的路径上的最长边。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
#define ms(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 3e4+10;
const int DEG = 20;

struct node
{
    int u, v, w;
    bool operator<(const node &x)const {
        return w<x.w;
    }
}e[maxn];

struct edge
{
    int to, w, next;
}edge[maxn*2];

int n, m,k;
int head[maxn], tot;
int fa[maxn][DEG], deg[maxn], ma[maxn][DEG], be[maxn];

int find(int x) { return be[x]==x?x:x=find(be[x]); }

void add(int u, int v, int w)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].w = w;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

void bfs(int root)
{
    queue<int>que;
    deg[root] = 0;
    ma[root][0] = 0;
    fa[root][0] = root;
    que.push(root);
    while(!que.empty())
    {
        int tmp = que.front();
        que.pop();
        for(int i = 1; i<DEG; i++)
            fa[tmp][i] = fa[fa[tmp][i-1]][i-1], ma[tmp][i] = max( ma[tmp][i-1], ma[fa[tmp][i-1]][i-1]);
        for(int i = head[tmp]; i!=-1; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to, w = edge[i].w;
            if(v==fa[tmp][0]) continue;
            deg[v] = deg[tmp]+1;
            fa[v][0] = tmp;
            ma[v][0] = w;
            que.push(v);
        }
    }
}

int LCA(int u, int v)
{
    int ans = 0;
    if(deg[u]>deg[v]) swap(u,v);
    int hu = deg[u], hv = deg[v];
    int tu = u, tv = v;
    for(int det = hv-hu, i = 0; det; det>>=1, i++)
        if(det&1)
            ans = max(ans, ma[tv][i]), tv = fa[tv][i];

    if(tv==tu) return ans;
    for(int i = DEG-1; i>=0; i--)
    {
        if(fa[tu][i]==fa[tv][i]) continue;
        ans = max(ans, max( ma[tu][i], ma[tv][i] ) );
        tu = fa[tu][i];
        tv = fa[tv][i];
    }
    return ans = max(ans, max( ma[tu][0], ma[tv][0]) );
}

int main()
{
    tot = 0;
    ms(head, -1);
    ms(ma,0);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i = 0; i<m; i++)
        scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);

    sort(e,e+m);
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        be[i] = i;
    for(int i = 0; i<m; i++)
    {
        int u = find(e[i].u), v = find(e[i].v);
        if(u!=v)
        {
            be[u] = v;
            add(e[i].u, e[i].v, e[i].w);
            add(e[i].v, e[i].u, e[i].w);
        }
    }

    bfs(1);
    for(int i = 0; i<k; i++)
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        printf("%d\n",LCA(u,v));
    }
}