CF 757E Bash Plays with Functions——积性函数+dp+质因数分解

题目：http://codeforces.com/contest/757/problem/E

f0[n]=2^m，其中m是n的质因子个数（种类数）。大概是一种质因数只能放在 d 或 n/d 两者之一。

然后应该发现因为 f0 是积性的，所以 fr 也是积性的！因为是卷积得来的。

这样就能把每个质因数分开。对于每种质因数考虑 fr 的转移，则 f [ r ][ p^k ] = sigma(i:0~k) ( f [ r-1 ][ p^i ] ) 。

应该发现 f0 里每种质因数的值只和其次数有关，从转移可得出 f [ k ] 里的各种质因数的值也只和其次数有关！所以 dp 状态里只要记录次数就行。

学习到了质因数分解的更好而同样简单的方法。就是预处理mindiv，然后每次除以自己的mindiv。

先写了自己的原始方法，T了；于是怒写了个pollar rho，结果T得更快，难道是写错了？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6,M=,mod=1e9+;
int q,r,n,dp[N+][M+],s[M+],ans,mindiv[N+],cnt,pri[N+];
bool vis[N+];
int rdn()
{
  int ret=;bool fx=;char ch=getchar();
  while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')fx=;ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='') ret=(ret<<)+(ret<<)+ch-'',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
void upd(int &x){x-=(x>=mod?mod:);}
void init()
{
  mindiv[]=;//
  for(int i=;i<=N;i++)
    {
      if(!vis[i])pri[++cnt]=i,mindiv[i]=i;
      for(int j=;j<=cnt&&(ll)i*pri[j]<=N;j++)
    {
      int d=i*pri[j];
      vis[d]=; mindiv[d]=pri[j];
      if(i%pri[j]==)break;
    }
    }
}
int pw(int x,int k,int md)
{
  int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%md;x=(ll)x*x%md;k>>=;}return ret;
}
bool MR(int x)
{
  if(x==)return true;
  int s=,u=x-,t=;
  while((u&)==)u>>=,t++;
  while(s--)
    {
      int a=rand()%(x-)+;//2~x-1
      a=pw(a,u,x);
      for(int i=,d;i<=t;i++)
    {
      d=(ll)a*a%x;
      if(d==&&a!=&&a!=x-)return false;
      a=d;
    }
      if(a!=)return false;
    }
  return true;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int Pl_rho(int x,int c)
{
  int x0=rand()%x,y=x,t=,k=;
  while()
    {
      x0=((ll)x0*x0+c)%(x+);
      int g=gcd(abs(x0-y),x);
      if(g!=&&g!=x)return g;
      if(x0==y)return x;
      if(++k==t)t<<=,y=x0;
    }
}
void fd_fc(int x)
{
  if(x<)return;
  if(MR(x))
    {
      int ret=;
      while(n%x==)n/=x,ret++;
      ans=(ll)ans*dp[r][ret]%mod;
      return;
    }
  int p=x;
  while(p==x)p=Pl_rho(p,rand()%(x-)+);//1~x-1
  fd_fc(p); fd_fc(x/p);
}
int main()
{
  dp[][]=;s[]=; init();
  for(int i=;i<=M;i++)dp[][i]=,s[i]=s[i-]+;
  for(int i=;i<=N;i++)
    for(int j=;j<=M;j++)
      dp[i][j]=s[j],s[j]=s[j-]+dp[i][j],upd(s[j]);
  q=rdn();
  while(q--)
    {
      r=rdn(); n=rdn(); ans=;
      //fd_fc(n);
      while(n!=)
    {
      int i=mindiv[n],d=;
      while(n%i==)n/=i,d++;
      ans=(ll)ans*dp[r][d]%mod;
    }
      /*
      for(int i=mindiv[n],d;(ll)i*i<=n;i++)
    if(n%i==0)
      {
        d=0;
        while(n%i==0)d++,n/=i;
        ans=(ll)ans*dp[r][d]%mod;
      }
      if(n>1)ans=(ll)ans*dp[r][1]%mod;
      */
      printf("%d\n",ans);
    }
  return ;
}