Luogu 2627 修建草坪 （动态规划Dp + 单调队列优化）

题意：

已知一个序列 { a [ i ] } ，求取出从中若干不大于 KK 的区间，求这些区间和的最大值。

细节：

没有细节？？？感觉没有？？？

分析：

听说有两种方法！！！

好吧实际上是等价的只是看似状态不同罢了~~~ QAQ

Round1：枚举当前点取或不取，当前点 i 取的话那么在前 KK 的数中必须要选择一个数字点 k 不取并且将 k+1 到 i 做为新的区间，最后取最优的 k 作为转移记录下来，并且其满足最有子结构。

所以状态就是：dp[i][0/1] 表示以 i 为结尾是否取 i 最大的区间

自然转移就是：

dp [ i ][ 0 ] = max ( dp [ i-1 ][ 0 ] , dp [ i-1 ][ 1 ] )

dp [ i ][ 1 ] = max ( dp [ i ][ 1 ] , dp [ k ][ 0 ] + sum [ i ] - sum [ k ]) （ i-KK ≤ k ≤ i - 1 ）

Round2：好吧还有一种思路直接考虑那个断点 k ，并且不去这个断点。

状态就变成了： f [ i ] 表示以 i 为结尾且必须取 i 的最大价值。

根据思路转移个人感觉玄学：

f [ i ] = max ( f [ i ] , f [ k -1 ] + sum [ i ] - sum [ k ] ) （ i-KK ≤ k ≤ i - 1 ）

其中的 sum [ ] 都表示序列的前缀和，同上。

好吧事实总不尽人意，看一眼数据范围顿时吸一口氧气，但是无论怎样都是 T L E ，好像是废话，活活的 N × N 的算法啊。但是观察观察方程， 比如 Round 2 中的我们使用一种高级的数学方法——加法交换律！！！

就能把式子变成这个样子 —— f [ i ] = max ( f [ k -1 ] - sum [ k ] ) + sum [ i ]

这是时候你就应该大叫一声这是定区间求最值啊，然后你想怎么做都可以了吧，线段树权值、树状数组之类的 好吧我们还是正常一点还是不去惹 log n 的时间复杂万一卡常呢，最后你就会明智的选择单调队列啦啦啦啦~~~（Ps：单调递减，咳咳）

其实某些大佬闭着眼睛不用想都可以，比如 c l y 、y j q 、l c t，啦啦啦

代码的荣耀时刻：

Round1：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define MAXN 100010
using namespace std;

LL f[MAXN], dp[MAXN][2];
int que[MAXN], n, m;

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i=1; i<=n; i++){
		LL x;
		scanf("%lld", &x);
		f[i]=f[i-1]+x;
	}
	int tail=1, head=1;
	que[1]=0;
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		dp[i][0]=max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]);
		while (head<=tail && que[head]<max(0, i-m)) head++;
		dp[i][1]=dp[que[head]][0]-f[que[head]]+f[i];
		while (head<=tail && dp[que[tail]][0]-f[que[tail]]<=dp[i][0]-f[i]) tail--;
		que[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n", max(dp[n][1], dp[n][0]));
	return 0;
}

Round2：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN=100010;

int n, k, que[MAXN];
LL f[MAXN], dp[MAXN];

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		LL x;
		scanf("%lld", &x);
		f[i]=f[i-1]+x;
	}
	int head=1, tail=1;
	for (int i=1; i<=n; i++){
		while (head<=tail && que[head]<max(i-k, 0)) ++head;
		dp[i]=dp[max(que[head]-1, 0)]+f[i]-f[que[head]];
		while (head<=tail && dp[max(que[tail]-1, 0)]-f[que[tail]]<=dp[i-1]-f[i]) --tail;
		que[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n", dp[n]);
	return 0;
}

小结：

其实小蒟蒻觉得像这种类似单调队列优化 1 D / 1 D 动态规划的情况，难在最初始状态思考以及转移，优化过程以及代码实现可以多练体进行熟练。