Luogu-5004 专心OI-跳房子(矩阵快速幂)

Luogu-5004 专心OI-跳房子(矩阵快速幂)

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题解：

先考虑最朴素的dp

设\(f[i][0/1]\)表示第\(i\)个位置跳/不跳的方案数，则：

\[\begin{cases}
f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]\\
\\
f[i][1]=f[i-m-1][0]+f[i-m-1][1]
\end{cases}
\]

发现可以将\(f[i][0]+f[i][1]\)记为\(g[i]\)，上式化为

\[g[i]=g[i-1]+g[i-m-1]
\]

很明显可以用矩阵快速幂加速转移：

\(g[i]\)可以转移至下一次的\(g[i]\)

\(g[i-m]\)可以转移至下一次的\(g[i]\)

\(g[i]\)可以转移至下一次的\(g[i-1]\)

也就是说，构建一个这样的矩阵：

\[G=
\left[
\begin{matrix}
0&0&0&\cdots&1\\
1&0&0&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
\end{matrix}
\right]
\]

初始矩阵\(S[0][0]=1\)

代码：

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define qmax(x,y) (x=max(x,y))
#define qmin(x,y) (x=min(x,y))
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
inline ll read(){
	ll ans=0,fh=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
		ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ans*fh;
}
const int P=1e9+7;
struct matrix{
	int a[20][20];
}S,G,base,Tmp;
int m;
ll n;
inline void build(){
	G.a[m][m]++,G.a[0][m]++;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		G.a[i][i-1]++;
}
matrix operator * (matrix x,matrix y){
	for(int i=0;i<=m;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++){
			Tmp.a[i][j]=0;
			for(int k=0;k<=m;k++)
				(Tmp.a[i][j]+=1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%P)%=P;
		}
	return Tmp;
}
matrix poww(matrix x,ll y){
	for(int i=0;i<=m;i++)
		base.a[i][i]=1;
	while(y){
		if(y&1) base=base*x;
		x=x*x,y>>=1;
	}
	return base;
}
int main(){
//	freopen("nh.in","r",stdin);
//	freopen("zhy.out","w",stdout);
	n=read(),m=read();
	build(),G=poww(G,n+1);
	int Ans=0;
	for(int i=0;i<=m;i++)
		(Ans+=G.a[0][i])%=P;
	printf("%d\n",Ans);
	return 0;
}