AGC025简要题解

AGC025简要题解

B RGB Coloring

一道简单题，枚举即可。

C Interval Game

考虑可以进行的操作只有两种，即左拉和右拉，连续进行两次相同的操作是没有用的。

左拉时肯定会选择右端点尽量小的，右拉选择左端点尽量大的，所以排序之后贪心即可。

D Choosing Points

首先证明对于所有\(d\)，假设让两个不能同时选的点之间连一条边，那么结果是一张二分图。

\(d\)是奇数可以黑白染色，\(d\)是偶数的时候，显然连边的两点在同一个颜色内。那么我们可以只考虑这个颜色，获得一个新的网格图，这个网格图的边长较大，这时可以让\(d\)相应缩小，最终\(d\)会变成奇数。

考虑构造出两张二分图，然后就可以把点分为4种，即在两张图内分别属于哪一边。点数总共\(4n^2\)，所以至少一种满足答案。

E Walking on a Tree

首先考虑每条边有多少条路径经过它，这样可以得到一个答案上界是\(\sum{min(2,ti)}\)。实际上这个上界一定能被构造出来。

这种题有一种很经典的想法，就是删去叶子，使得图的规模变小，那么我们就每次考虑一个叶子节点\(x\)和它唯一的出边\(E\)。假设\(E\)的经过次数小于2，那么最终无论是什么方向都没有问题，可以砍短一截；否则任意选择两条路径\(x-y\),\(x-z\)，假设这两条路径都经过了\(x-a\)，那么我们可以令这两条路径方向相反，使得\(x-a\)一定被双向经过，这两条路径就变成了\(y-z\)的未定向路径。这两条路径以外的路径同理砍短一截即可。这样重复\(n-1\)次就能找到最优解了，复杂度O(nm)。

F Addition and Andition

从低位开始一位位考虑吧，对于每一位，求出它进行了哪些加法操作和每次操作的时间，不难求出最后的状态。

复杂度显然不对，考虑优化。定义势能函数等于两倍的\(01\)或者\(10\)加法操作的数量加上三倍的\(11\)加法操作的数量，考虑加法时可能遇见的情况。

假设加上\(01\)或者\(10\)，那么暴力做一定没问题，因为这样相当于用两次这种操作换来一次进位的加法，势能函数至少减去1。

假设加上\(11\)，那么有两种情况。如果之前是\(01\)或者\(10\)，那么相当于\(11\)变成\(01\)或者\(10\)，势能函数减少。假设是\(00\)，那么这么做不改变势能函数，所以考虑把连续的一段\(11\)用链表接起来缩成一段，这样就可以\(O(1)\)处理一整段，显然段数和\(01\)与\(10\)的总量是同一个级别的。

这样暴力的做法通过简单的缩段就变成\(O(n)\)的了。

(我从来没学过势能函数，只知道有这个东西，如果是我乱用了，呃…你理解就好了）