导弹拦截

OJ地址:
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1158
http://codevs.cn/problem/1128/
 
题目描述 Description

经过11 年的韬光养晦,某国研发出了一种新的导弹拦截系统,凡是与它的距离不超过其工作半径的导弹都能够被它成功拦截。当工作半径为0 时,则能够拦截与它位置恰好相同的导弹。但该导弹拦截系统也存在这样的缺陷:每套系统每天只能设定一次工作半径。而当天的使用代价,就是所有系统工作半径的平方和。
某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统尚处于试验阶段,所以只有两套系统投入工作。如果现在的要求是拦截所有的导弹,请计算这一天的最小使用代价。

数据范围
对于10%的数据,N = 1
对于20%的数据,1 ≤ N ≤ 2
对于40%的数据,1 ≤ N ≤ 100
对于70%的数据,1 ≤ N ≤ 1000
对于100%的数据,1 ≤ N ≤ 100000,且所有坐标分量的绝对值都不超过1000。

输入描述 Input Description

第一行包含4 个整数x1、y1、x2、y2,每两个整数之间用一个空格隔开,表示这两套导弹拦截系统的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)。
第二行包含1 个整数N,表示有N 颗导弹。接下来N 行,每行两个整数x、y,中间用一个空格隔开,表示一颗导弹的坐标(x, y)。不同导弹的坐标可能相同。

输出描述 Output Description

输出只有一行,包含一个整数,即当天的最小使用代价。

样例输入 Sample Input

0 0 10 0
2
-3 3
10 0

样例输出 Sample Output

18

数据范围及提示 Data Size & Hint

两个点(x1, y1)、(x2, y2)之间距离的平方是(x1− x2)^2+(y1−y2)^2。
两套系统工作半径r1、r2 的平方和,是指r1、r2 分别取平方后再求和,即r1^2+r2^2。

【样例说明】

样例1中要拦截所有导弹,在满足最小使用代价的前提下,两套系统工作半径的平方分别为18和0。

算法分析

参考

https://blog.csdn.net/yuyanggo/article/details/48739029

http://hzwer.com/44.html

假设两个导弹系统为p1、p2,那么我们可以通过枚举两个导弹系统的半径,寻找最小值消耗值。

导弹系统的半径必然是系统所在位置与某一导弹的连线,基于此,p1的可能半径就只有n种,现在的问题就是枚举p1的半径之后,如何得到p2的半径呢?

我们把所有的导弹按其坐标点到p1的距离从大到小进行排序,若选择 k 号点到p1的距离作为半径,那么k点之后的点都能被p1击落。而k点之前的点p1是无法拦截的,只能由p2击落,于是,p2的半径即为前 k-1个点到 p2 的最大半径。
这道题有一个难点:如何寻找“前 k-1个点到 p2 的最大半径”。若是每当确定k点位置后,再来一次循环去寻找前k-1个点到p2的最大距离,那么整个算法的时间复杂度将会达到N^2级别,提交OJ时会超时。如何解决呢?

其实,上述算法描述中已经隐约暗示了解决方式。上述算法描述中,为何非要从距离p1最远的那个点开始枚举k呢?从距离p1最远的点开始枚举,一开始的时候p1负责拦截所有导弹,p2是不拦截任何导弹的,也就是p2的工作半径是0.然后随着枚举的继续,k每次挪动一个位置,p2拦截的导弹也会增多一枚。仅仅增多一枚导弹,很容易判断出新状态下p2拦截区域的最大工作半径。所以,必须要让p2一开始是不拦截任何导弹,然后p2拦截的导弹数量逐渐增加。

 #include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
struct obj
{
int d1,d2; //d1和d2分别表示某一个导弹距离p1和p2的距离的平方
};
int cmp(const void *a,const void *b)//按照D[i].d1从大到小排序
{
struct obj *x,*y;
x=(struct obj*)a;
y=(struct obj*)b;
return y->d1 - x->d1;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int x1,y1,x2,y2,x,y,N;
struct obj D[];//存储所有的导弹
int i,j;
int r1,r2,cost,minCost=-; scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
scanf("%d",&N);
for(i=;i<N;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
D[i].d1=(x-x1)*(x-x1)+(y-y1)*(y-y1);
D[i].d2=(x-x2)*(x-x2)+(y-y2)*(y-y2);
} qsort(D,N,sizeof(D[]),cmp);//按照D[i].d1从大到小排序
/*for(i=0;i<N;i++)
printf("%d %d\n",D[i].d1,D[i].d2);*/ //第一种极限情况:所有导弹均由p1系统拦截
r2=;
r1=D[].d1;
minCost=r1+r2; r2=D[].d2;
for(i=;i<N;i++)//从D[0]~D[i-1]由p2拦截,D[i]~D[n-1]由p1拦截
{
r1=D[i].d1;
if(r2<D[i-].d2) r2=D[i-].d2;
cost=r1+r2;
if(cost<minCost) minCost=cost;
} //第二种极限情况:所有导弹均由p2拦截
r1=;
if(r2<D[N-].d2) r2=D[N-].d2;
cost=r1+r2;
if(cost<minCost) minCost=cost; printf("%d\n",minCost);
return ;
}

下面这个代码比较简洁,可以参考一下。

设拦截系统为 a , b

按照导弹到其中一个拦截系统 a 的距离排序,将离 a 最近的 i 个导弹都交给 a ,其余给 b

倒序枚举断点,每次更新答案

 #include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std; #define inf 1000000000
#define ll long long struct data
{
int x,y,s1,s2;
}a[]; int n,x1,y1,x2,y2;
int mn=inf; bool cmp(data a,data b)//结构体比较函数,可以理解为定义小于号,即a.s1<b.s1时return 1 否则return 0
{
return a.s1<b.s1;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
a[i].s1=(a[i].x-x1)*(a[i].x-x1)+(a[i].y-y1)*(a[i].y-y1);//计算距离。注意:这里没有开平方
a[i].s2=(a[i].x-x2)*(a[i].x-x2)+(a[i].y-y2)*(a[i].y-y2);
}
sort(a+,a+n+,cmp);//对a[1]~a[n]进行排序,按照a[i].s1升序排序 int rb=;
a[n+].s2=;
for(int i=n;i>;i--)//从离a最远的导弹开始枚举
{
rb=max(a[i+].s2,rb);//将i+1号导弹交给系统b,更新系统b的半径
mn=min(mn,a[i].s1+rb);//更新答案
} //一种极限情况
rb=max(a[].s2,rb);//将所有导弹交给系统b,更新系统b的半径
mn=min(mn,+rb);//更新答案 printf("%d",mn);
return ;
}

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