柯朗微积分与数学分析习题选解(1.3 节 c)

一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。

柯朗微积分与数学分析习题选解(1.3 节 c)

1(a) 试证明一条直线同高于一次的多项式的图形最多可相交于有限多个点.

直线方程:

y=ax+b

多项式方程:

y=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn

相交点满足:

ax+b=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn⇒(a0−b)+(a1−a)x+a2x2+⋯+anxn=0

n 次多项式最多有 n 个根,所以一条直线同高于一次的多项式的图形最多可相交于有限多个点.

(b) 证明对于一般的有理函数也有同样的结果.

直线方程:

y=ax+b

有理函数方程:

y=a0+a1x+⋯+anxnb0+b1x+⋯+bmxm

相交点满足:

ax+b=a0+a1x+⋯+anxnb0+b1x+⋯+bmxm⇒(a0−bb0)+(a1−ab0−bb1)x+(a2−ab1−bb2)x2+⋯=0

n 次多项式最多有 n 个根,所以一条直线同高于一次的有理函数的图形最多可相交于有限多个点.

(c) 试证明三角函数不是有理函数.

三角函数与 y=0 有无穷多个交点. 而有理函数与y=0 只能相交于有限多个点.所以三角函数不是有理函数.