线代: N阶行列式

线性变换

将 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 就叫做线性变换, 这就是矩阵乘法, 用于表示一切线性变换. 几何上看, 把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去, 效果就相当于对这个平面进行了一个"线性的映射".

矩阵和行列式

矩阵是一个表格, 行数和列数可以不一样; 而行列式是一个数, 且行数必须等于列数

N阶行列式的计算

N阶行列式完全展开共有n!项, 各项正负号由各项组成元素的排列决定: 奇负偶正,
逆序
在N级排列中, 若一个较大的数排在一个较小的数前面, 称为一个逆序; 又: 在n个元素的一个排列中, 当某两个元素的次序与标准次序(对整数的排列一般以从小到大的次序作为标准次序)不同时，就称为1个逆序，逆序的总数称为该排列的逆序数
逆序数
N级排列中逆序的总数称为逆序数, 记为N(I₁I₂...I_N)
奇/偶排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列

例子
某项为 A₃₃A₄₁A₂₅A₅₄A₁₂ ,要判断正负, 先把元素按行号重新排列A₁₂A₂₅A₃₃A₄₁A_54, 然后计算列标排列的逆序数 N(25314)=1+3+1+0+0=5 为奇数(注:每次取一位, 记下比后面的数大的次数, 例如2只比1大, 所以第一个是1, 5比3, 1, 4都大, 所以记3, ...), 所以这一项为负

行列式的降阶运算

在原行列式中选中一个点a_ij, 从原行列式中划去它所在的行和列各元素, 剩下的元素按原位排列构成的新行列式, 称为它的余子式(一个比原行列式低一阶的行列式).
一个元素的余子式乘以这个元素的位置系数(-1的i+j幂)就定义为该元素的代数余子式, 记为A_ij.
于是一个行列式按行(或按列)展开, 可以表示为该行/列对应的余子式之和.