【BZOJ3691】游行（网络流）

题面

BZOJ

然而权限题。

Description

每年春季，在某岛屿上都会举行游行活动。

在这个岛屿上有N个城市，M条连接着城市的有向道路。

你要安排英雄们的巡游。英雄从城市si出发，经过若干个城市，到城市ti结束，需要特别注意的是，每个英雄的巡游的si可以和ti相同，但是必须至少途径2个城市。

每次游行你的花费将由3部分构成：

1.每个英雄游行经过的距离之和，需要特别注意的是，假如一条边被途径了k次，那么它对答案的贡献是k*ci，ci表示这条边的边权。

2.如果一个英雄的巡游的si不等于ti，那么会额外增加C的费用。因为英雄要打的回到起点。

3.如果一个城市没有任何一个英雄途经，那么这个城市会很不高兴，需要C费用的补偿。

你有无数个的英雄。你要合理安排游行方案，使得费用最小。

由于每年，C值都是不一样的。所以你要回答Q个询问，每个询问都是，当C为当前输入数值的时候的答案。

Input

第一行正整数N，M，Q；

接下来的M行，每行ai,bi,ci，表示有一条从ai到bi，边权为ci的有向道路。保证不会有自环，但不保证没有重边。

接下来Q行，每行一个C，表示询问当每次费用为C时的最小答案。

Output

Q行，每行代表一个询问的答案。

Sample Input

6 5 3

1 3 2

2 3 2

3 4 2

4 5 2

4 6 2

Sample Output

题解

没想到我竟然放了题面

发现\(C\)是在不断变化的，所以考虑计算一个和\(C\)无关的东西，最后再把\(C\)的贡献考虑进来。

先把两个和\(C\)相关的限制给统一起来，我们认为一条路径只覆盖其终点，其起点不被覆盖，那么最终所有的未被覆盖的点产生\(C\)的贡献。

这样子看起来还是有点区别的，主要问题在于经过了一个环，然后回到了起点\(S\)，再走出去确定了一个终点\(T\)，这样子看起来覆盖了所有点，但是仍要付出一个\(C\)的代价。

实际上这样子没错，但是这样子不优，因为你可以只走环，然后把剩下的路径给拆开，这样子代价仍然是一个\(C\)，但是少走了一条边的代价。

实际上我们做的是一个最小路径覆盖，这样就会得到比上述东西更优的一个解。

两点之间连边边权为两点之间的最短路，然后跑最短路径覆盖，这样子每次都会新增一个点进入覆盖，并且权值是单增的。

那么只需要对于每次询问二分权值从哪里开始大于\(C\)，前面的路径覆盖，后面的直接用\(C\)即可。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define MAX 255

inline int read()

{

	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return t?-x:x;

}

int val[MAX],sum[MAX],tot;

namespace MCMF

{

	const int MAXM=1000000,MAXN=1000;

	struct Line{int v,next,w,fy;}e[MAXM];

	int h[MAXN],cnt=2;

	inline void Add(int u,int v,int w,int fy)

	{

		e[cnt]=(Line){v,h[u],w,fy};h[u]=cnt++;

		e[cnt]=(Line){u,h[v],0,-fy};h[v]=cnt++;

	}

	int dis[MAXN],pe[MAXN],pv[MAXN],Cost,Flow;

	bool vis[MAXN];queue<int> Q;

	int S=0,T=MAXN-1;

	bool SPFA()

	{

		memset(dis,63,sizeof(dis));dis[S]=0;

		Q.push(S);vis[S]=true;

		while(!Q.empty())

		{

			int u=Q.front();Q.pop();

			for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

			{

				int v=e[i].v;if(!e[i].w)continue;

				if(dis[u]+e[i].fy<dis[v])

				{

					dis[v]=dis[u]+e[i].fy;pe[v]=i,pv[v]=u;

					if(!vis[v])vis[v]=true,Q.push(v);

				}

			}

			vis[u]=false;

		}

		if(dis[T]>=1e9)return false;

		int flow=1e9;

		for(int i=T;i!=S;i=pv[i])flow=min(flow,e[pe[i]].w);

		for(int i=T;i!=S;i=pv[i])e[pe[i]].w-=flow,e[pe[i]^1].w+=flow;

		Flow+=flow;Cost+=dis[T]*flow;

		val[++tot]=dis[T]*flow;sum[tot]=sum[tot-1]+val[tot];

		return true;

	}

}

using namespace MCMF;

int n,m,q,g[MAX][MAX];

int main()

{

	n=read();m=read();q=read();

	memset(g,63,sizeof(g));for(int i=1;i<=n;++i)g[i][i]=0;

	for(int i=1,u,v;i<=m;++i)u=read(),v=read(),g[u][v]=min(read(),g[u][v]);

	for(int k=1;k<=n;++k)

		for(int i=1;i<=n;++i)

			for(int j=1;j<=n;++j)

				g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=1;j<=n;++j)

			if(i^j)Add(i,j+n,1,g[i][j]);

	for(int i=1;i<=n;++i)Add(S,i,1,0),Add(i+n,T,1,0);

	while(SPFA());

	while(q--)

	{

		int C=read(),l=1,r=tot,ret=0;

		while(l<=r)

		{

			int mid=(l+r)>>1;

			if(val[mid]<C)l=mid+1,ret=mid;

			else r=mid-1;

		}

		printf("%d\n",sum[ret]+(n-ret)*C);

	}

	return 0;

}